Зададачка

serejka

Хелло всем.
Хочу запрогать задачку и покрутить, посмотреть результаты для разных параметров. Сам ее решить не могу, буду признателен, если кто-то решит.
Задача:
Вероятность выпадения орла p1, решки p2. Какова вероятность, что при общем количестве подбрасываний M найдется хотя бы один отрезок подряд подбрасываний длиной K, на котором орлов будет больше N. N<K<M
Например: какова вероятность, что при общем количестве подбрасываний M=100 найдется хоть один отрезок длиной K=10 ( из множества отрезков 1..10,2..11,3...12 итд ) найдется отрезок, на котором не менее N=7 орлов.

Romyk

Умеешь прогать, но не умеешь считать вероятности? Добро пожаловать в Монте-Карло

serejka

по ряду причин нужна конечная рекуррентная формула.

Polyphem

Могу предложить идею.
Возможно, её можно довести до конца.
(Что-то форум тупит с TeX математическими формулами, поэтому
так напишу)
Рассмотрим первый отрезок длины K. Пусть на нём (N - d) орлов,
где d >= 0. Начнём этот отрезок сдвигать на единицу вправо. При
такой операции количество орлов либо увеличивается на 1, либо
уменьшается на 1, либо остаётся неизменным. Вероятность, что
количество орлов увеличится на 1 - p1*p2, вероятность, что количество
орлов уменьшится на 1 - p1*p2, вероятность, что не изменится
p1*p1 + p2*p2.
Таким образом, если ввести процесс S, который в начальный момент
равен 0, а потом изменяется согласно описанной выше процедуре,
то можно говорить о событии, вероятность которого ты хочешь
найти. У нас есть (M - K + 1) шагов и нам нужно выяснить, будет
ли момент, что этот процесс станет равным d за количество шагов,
меньшее или равное d.
Если ввести момент остановки tau = {inf t: S_t = d}, то нужно
оценить вероятность Prob(tau < M- K). Мне кажется, это классическая
задача. Подождём специалистов.
Либо воспользоваться реккурентным подходом. Подумаю, как будет
время. Напишу, если задача не решится раньше
Ну а зная вероятности для каждого начального положения, вроде бы
нетрудно найти общую вероятность

griz_a

Вероятность, что
количество орлов увеличится на 1 - p1*p2, вероятность, что количество
орлов уменьшится на 1 - p1*p2, вероятность, что не изменится
p1*p1 + p2*p2.

Вовсе нет, те орлы, которых мы слева убираем, они совсем не так распределены. Они зависимы и распределены как начало ряда K монет с N-d орлами.
Либо воспользоваться реккурентным подходом. Подумаю, как будет
время. Напишу, если задача не решится раньше

Что-то вот у меня не вышло.
Вообще можно погуглить в гугл академии по словам "статистика Эрдаша-Реньи". Я вот для нее только асимптотические формулы видел и знаю.

Polyphem

Вовсе нет, те орлы, которых мы слева убираем, они совсем не так распределены. Они зависимы и распределены как начало ряда K монет с N-d орлами.
Да, согласен. Засада, блин.

griz_a

Вполне возможно, что разумной формулы, интересующей автора, просто не существует. Отрезки сильно сцеплены, при асимптотических исследованиях удается их расцепить, а при выведении явной формулы эту зависимость особенно и не денешь никуда.

serejka

А возможно ли в частом случае p1=p2=50% решить в конечном виде? Задача сильно упрощается? Мне бы для начала такая оценка подошла.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: