Задачи по функану

Misho

Доказать, что оператор A(f(t:=int[0,1](min(t,s)*f(s)*ds (f(t) из l2[0,1]) компактный.
2. Узнать, компактен ли оператор A(f(t=(1/t)*int[0,t](f(s)*ds (f(t) из l2[0,1]).
Попросили запостить.

Misho

Up

igorbg

в архиве попробуй

lenmas

Первое в Колмогорове-Фомине, второе очевидно, так как у оператора все натуральные числа являются собственными числами (на функциях типа степеней t поэтому ни о какой компактности, и даже ограниченности, не может быть и речи.

lena1978




все натуральные числа являются собственными числами (на функциях типа степеней t поэтому ни о какой компактности, и даже ограниченности, не может быть и речи.


так вроде обратные к натуральным будут

lenmas

Да, точно Это я лажанулся! Так что на второй вопрос ответ пока открытый! (Вот что значит не функанщик!)

lena1978

x^{-1/4} ведь лежит в L2[0, 1]?

lenmas

Все равно должен быть некомпактный, так как ядро K(t,s)=(1/t)*I([0,t],s где I([0,t],s) - индикатор отрезка [0,t], неинтегрируемо в квадрате по квадрату [0,1]X[0,1] (именно это условие компактности доказано в Колмогорыче-Фомиче). А как строго доказать, хрен его знает. Может рассмотреть последовательность функций f_e(t)=1/sqrt(e)I([0,e],t)? Тогда при e->0 последовательность f_e(t) слабо сходится к нулю, а компактный оператор должен слабо сходящиеся последовательности перерабатывать в сильно сходящиеся. А вот Af_e(t) хрен к нулю сходятся - они на [0,e] точно равны 1/sqrt(e так что квадратная норма не меньше 1 Поправьте, если неправильно, а то я второй раз не выдержу, пойду спать

lenmas

Да! А что?

lena1978

либо я гоню, либо этот оператор переводит функции из L2 не в L2

lenmas

Не, он степенные опять в те же степенные перегоняет, только с другим коэффициентом

lena1978

гоню
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: