Асимптотика ряда

abrod

Есть ряд: [math]$F(t) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} (2k+1)e^{-k(k+1)t}$[/math].
При t стремящемся к нулю его асимптотика имеет вид: [math]$a_0 t^{-1} + a_1 t^{-1/2} + a_2 t^{0} + a_3 t^{1/2} + a_4 t^{1} + \underline{O}(t^{3/2})$[/math].
С большой уверенностью можно сказать, что [math]$a_0=1$[/math].
Интересует, чему равны другие [math]$a_i$[/math], а особенно те, которые стоят при целых степенях (т.е. [math]$a_2$[/math] и [math]$a_4$[/math]).
Я посчитала это неким способом, но ответ вызывает большие сомнения. Хотелось бы себя проверить.
Если кто-то сталкивался с подобным и может сослаться на какую-то литературу, где есть методы, позволяющие это вычислить, то сделайте это, пожалуйста.

lenmas

Попробуй копнуть в сторону формулы суммирования Эйлера—Маклорена (Уиттекер, Ватсон, часть первая, § 7.21).

assasin

 [math]$$\mathrm e^{-t/4}F(t)=\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{a-\mathrm i\infty}^{a+\mathrm i\infty}(2^{2s}-2)\Gamma(s)\zeta(2s-1)t^{-s}\mathrm ds\sim\sum_{k=-1}^\infty\dfrac{(-1)^k(1-2^{-2k-1})B_{2k+2}}{(k+1)!}t^k,$$[/math]
где [math]$a>1$[/math], [math]$B_n$~---[/math] числа Бернулли.
В частности,
[math]$$F(t)=t^{-1}+\frac13+\frac t{15}+\frac{4t^2}{315}+\frac{t^3}{315}+\frac{4t^4}{3465}+O(t^5).$$[/math]
Можешь посмотреть книжку А.О. Гельфонда «Вычеты и их приложения», п. 4.3, где выводится асимптотика для [math]$f(x)=\sum_{n=1}^\infty n^\beta\mathrm e^{-n^\alpha x}$[/math]. Тебе нужен случай [math]$\alpha=2,\beta=1$[/math], так как тогда [math]$\mathrm e^{-t/4}F(t)=f(t/4)-2f(t).$[/math]

abrod

Огромное спасибо!
И за прямые вычисления и за ссылку на книгу!
Я действовала также, только неправильно преобразовала исходный ряд и сейчас рада, что проверилась :-)
Спасибо, еще раз!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: