Фундаментальное решение

irlyashenko

Люди добрые, помогите фундаментальное решение оператора d2/dx2 + d2/dy2 - d2/dz2 - d2/dt2
это оператор ультрагиперболического типа и ни в одной книге не могу найти.
с меня что-нить хорошее. типа пива или шоколадки по желанию)
уже на стенку лезу

Lene81

Это функцию Грина, что ли? (что-то я туплю под вечер)

irlyashenko

это такая функция, что если к ней применить этот оператор, то получится дельта функция.
то есть мне было сказано делать так - фунд решение не зависит от поворота в каждой из плоскостей (образованной переменными с положительными коэффицентами и с отр) . то есть надо перейти к полярным координатам r, R, alfa, beta и сказать , что от углов решение не зависит. таким образом , надо найти фунд решение оператора
d2/dr2 + 1/r d/dr - d2/dR2 - 1/R d/dR
а как делать это я не понимаю

Lene81

это такая функция, что если к ней применить этот оператор, то получится дельта функция.
Ну да, это определение функции Грина.
надо найти фунд решение оператора
d2/dr2 + 1/r d/dr - d2/dR2 - 1/R d/dR
Если Вы все правильно сделали, то это сумма радиальных частей лапласиана в 2-мерном пр-ве. Его ФГ - ln(r
т.о. получается что-то похожее на
ln(r)*ln(R) или ln(r) +/- ln(R)

irlyashenko

вот в том-то и штука, что ни одно не подходит .
во втором случае получается дельта(r) +/- дельта(R) , а должно быть дельта(r)*дельта(R).
а в первом вообще непонятно что)

vovatroff

Преобразование Фурье.

vovatroff


это такая функция, что если к ней применить этот оператор, то получится дельта функция.
Ну да, это определение функции Грина.
Не совсем. Обычно функцию Грина вводят для краевых задач,
т.е. при заданных граничных условиях.
Фундаментальное решение обычно строят во всем пространстве,
имея в виду решение задачи Коши.
Функция Грина есть сумма фундаментального решения и некоторого
частного решения однородного уравнения, подобранного так, чтобы
в сумме они удовлетворяли нужному краевому условию.
Например, функция Грина для точечного заряда вблизи заземленной
проводящей границы уже не просто кулоновский потенциал 1/r, а сумма
его и потенциала электростатического изображения этого заряда по ту
сторону границы. На самой границе оба слагаемых должны давать в
сумме нуль, коль скоро она заземлена - это и есть граничное условие.

Lene81

Не совсем. Обычно функцию Грина вводят для краевых задач,
т.е. при заданных граничных условиях.
Фундаментальное решение обычно строят во всем пространстве,
имея в виду решение задачи Коши.
Так решение-то требутся как раз на всем пространстве - см. условия.
2Автор: а почему произведение не походит? Получившийся оператор-то - с разделяющимися переменными, следовательно решение можно искать в виде произведения двух ФГ для радиальных частей двумерного лапласиана.

vovatroff

Я просто объяснил, в чем разница между ФР и ФГ.
Во Владимирове много примеров построения ФР,
причем именно через преобразование Фурье.
Просто и изящно, по крайней мере для операторов с
постоянными коэффициентами - общий метод.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: