уравнение теплопроводности

Frink

Нужно найти аналитически распределени температуры в бесконечно среде нагреваемой цилиндром. Цилиндр назодится под постояннным нагревом. индекс 1 для температуры и констант внутри цилиндра. индекс 2 для температуры и констант среды.
как я понял задача ставится так.
1/k1*U1t=лапласианU1+A/K1
1/k2*U2t=лапласианU2
U1=U2 (t=0)
U1=U2 при r=a
K1*U1r,fi,z=K1*U2r,fi,z при r=a
Правильно ли я ее поставил? И как ее решать?
Спасибо

tester1

Переменные что означают? Обозначения какие-то непривычные, обычно переменная одномерная u(x,t). А у тебя U1, U2...

sashok01

тут был тупняк. Я думал, нагревается цилиндр, а среда выступает как холодильник, нужно же наоборот.
У автора, насколько я понял, U1(x,t) означает температуру внутри цилиндра, U2(x,t) означает температуру вне цилиндра. И первое уравнение решается внутри цилиндра, второе - вне.
Из условий на границе цилиндра нужно оставить только условия второго рода на непрерывность потока тепла (вида [math]$\left.k_1 \frac{\partial U_1}{\partial n} = k_2 \frac{\partial U_2}{\partial n}\right|_{x \in \partial V_{cyl}}$[/math] а так вроде бы всё верно.
Апд. Условия на непрерывность температуры на границе тоже нужны, был неправ. Без этого решение тривиально (U1(x,t)=T0+At, U2(x,t)=T0)
Если тебе не нужно искать распределение температуры внутри цилиндра, то задачу можно записать только относительно одной переменной
 [math]  \begin{equation*}  \begin{gathered}  T_{,t} = k \Delta T + A(x)\\  \left. T\right|_{t=0}=T_0\\  A(x)= 0, x \in V_{out}\\  A(x)= A_0, x \in V_{cyl}  \end{gathered}  \end{equation*}  [/math]

Frink

Спасибо за ответ.
Как я понимаю для того что бы узанть температуру цилиндра A0 мне все равно надо искать решать уравниение для U1. Потому что я только заню какое тепло мы сообщем в единицу времени.
Посмотрел имеющегося в наличии самарского тихонова. Но там как то ничео похожего. Или я не правильно свою задачу к стандартным свожу.

sashok01

A0 - не температура цилиндра, A0 - характеризует энергию, которая ему сообщается в единицу времени (это A из твоего поста). Оно тебе дано.
Я не знаю, можно ли получить аналитическое решение. Скорее всего, нельзя.
Но очевидно, что решение от phi не зависит. Можно попробовать представить температуру T (или обе температуры U1 и U2, в зависимости от постановки задачи) в виде произведения F(t)R(r)Z(z) (или F1(t)R1(r)Z1(z) и F2(t)R2(r)Z2(z и затем раскладывать F(t R(r) и Z(z) по некоторой полной системе функций, подставлять эти ряды в уравнения и граничные условия. Авось получится, но вряд ли, скорее всего такие ряды придётся "обрубать" на некотором члене.
Кстати, наверное, нужны ещё условия на бесконечности - производная U1 по направлению "от цилиндра" равна нулю, что означает, что поток тепла на бесконечности равен нулю.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: