Как возвести матрицу в n-ую степень?

gala56

Есть матрица из положительных чисел, таких, что сумма в каждой строке/столбце равна 1.
Как быстро возвести такую матрицу в n-ую cтепень?
Вообще предел в идеале считаю.

Diman0606

Что значит быстро? Тут вроде нужно составить интерполяционный многочлен, и определить его коэффициенты... Короче, см. Винберг Э.Б. "Курс алгебры", стр. 247-248.

Xephon

вычисляй A^2,A^4,A^8... последовательным возведением в квадрат

Mike3

к жордановой форме ее а потом A^n = T*(J^n)*(T^-1 трансп)
степень жорд формы искать легче обычно

114ttr

Mathcad'ом можно

Mike3

ну это самый верный способ

gala56

спасибо всем

beerukoffa

На всякий случай. Если матрица, например, без нулей, в пределе должна получиться матрица из 1/n во всех позициях.
Ну ты в курсе, наверное

nasteniw

а это почему? не знал такого

stat5635453

Есть теорема, что матрица(n x n) есть корень своего хар. многочлена . Отсюда, n-я, а значит любая степень выражается через линейную комб. первых n-1 степенй матрицы. Отсюда, можно быстро вычислять любую степень.

beerukoffa

а это почему? не знал такого
Смысл в том, что стандартные базисные вектора сходятся к "диагонали", потому что отображаются в положительный "квадрант". Ну и то, что матрица вероятностная надо воспользоваться. Подробнее ломает доказывать

nasteniw

с упоминанием вероятностной матрицы все стало яснее

Sanych

С точки зрения линейной алгебры, у такой матрицы единственное сз по модулю не меньшее 1 -- это 1, с собственным вектором (1,1...1). Соответственно все остальные сз в пределе дают 0, а это собственное значение и его св сохраняются. Значит столбцы предела есть (1,1 ... 1). Ну вот вроде и всё. Единственное, надо понять, почему все остальные собственные числа действительно меньше, а это не кратное.

Xephon

Значит столбцы предела есть (1,1 ... 1)

скорее уж 1/N

halithh

Не понял...
Возьмем матрицу: A_11=A_21 = 2/3 , A_12=A_22 = 1/3 . Ее квадрат равен ей самой, следовательно и предел - тоже.

Xephon

пусть B=A^2; легко видеть, что B_11= 1/9+4/9 = 5/9 , так что ошибочка вышла
а с Вовой и вправду спорить сложно

Katty-e

Предел является ( как Дремов уже говорил ) левым собственным вектором с собственным значением 1. Так что не стоит возводить в степень, неинтересно . Цепи Маркова - это полезно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: