дифференцируемая функция не равна нулю в ограниченной области

araukaria777

можно ли придумать всюду дифференцируемую функцию но только чтобы она была не равна нулю только в ограниченной области?

mtk79

ответ: можно
комментарий наборщика: это не только разрешение начать это делать, но и принципиальная возможность достижения требуемого результата

BSCurt

можно ли придумать всюду дифференцируемую функцию но только чтобы она была не равна нулю только в ограниченной области?
Вопрос не понял, но ответ - разбиение единицы.

tester1

Пусть M - замкнутое множество. Положим [math]$\rho(x,M)=\inf_{y\in M}|x-y|$[/math].
Тогда функция [math]$f(x)=\exp\Big({\frac{-1}{\rho(x,M)^2}}\Big)$[/math] дифференцируема сколько угодно раз и равна нулю вместе со всеми своими производными в каждой точке множества М, и не равна нулю в каждой точке дополнения множества М.
Этот пример покрывает и твой случай, т.е. когда дополнение множества М есть ограниченная область.

forester_200

Пусть [math]$f(x)=1+ cos x$[/math] при [math]$x\in [-\pi;\pi]$[/math] и равна нулю во всех остальных точках.
Тогда [math]$f(x)$[/math] удовлетворяет твоему условию.

araukaria777

спасибо

mtk79

только после этого примера осознал, что испрашивалась не бесконечнодифферецируемая, а просто дифферецируемая

tester1

я тоже прочитал "дифференцируемая", но решил не мелочиться, не скрывать имеющуюся в нашем распоряжении мощь теории функций :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: