n-мерный выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка вершин

komBAR

(вершина = пересечение n из гиперплоскостей [задающих многогранник], с условием, что оно лежит внутри многогранника)
Может ли кто-нибудь посоветовать книгу, где это доказывается?
(Сам доказывать я умею, но хочется сослаться, дабы не изобретать велосипед)

komBAR

Э, нет. Эту-то теорему в любой книжке по выпуклым множествам доказывают. Но в ней не вершины (во всяком случае не в том смысле, в котором я прошу а экстремальные точки (опять же, я понимаю, что для многогранника это одно и то же, и доказывать умею, но хочется сослаться на готовое)

kroton45

На вскидку -
G. Ziegler, "Lectures on Convex Polytopes".
Бранко Грюнбаум, "Выпуклые многогранники".

komBAR

Проверял и то, и то. Может быть, я совсем слепой, но ни там, ни там именно этого факта нет.
Там вершины = грани размерности 0 (т.е. существует опорная гиперплоскость, пересекающая многогранник ровно по этой точке). Утверждения о том, что любая грань размерности d есть пересечение каких-либо двух размерности d+1 тоже нет, так что не получается.

kroton45

Кажется, наиболее похожее утверждение в Циглере - это Theorem 2.7 (iv, v). Проверь еще раз.

antill

Э, нет. Эту-то теорему в любой книжке по выпуклым множествам доказывают. Но в ней не вершины (во всяком случае не в том смысле, в котором я прошу а экстремальные точки (опять же, я понимаю, что для многогранника это одно и то же, и доказывать умею, но хочется сослаться на готовое)
имхо:
Если ты пишешь текст не для школьников, и тебе нужно как-то обосновать логический переход, то имхо можно тупо написать, что "простым конечномерным следствием известной теоремы Крейна-Мильмана является утверждением о том, что выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка своих вершин, и поэтому имеет место следующее: ..." Здесь всё строго, и читающий оценит юмор :)
Если текст --- для школьников или людей без сильной математической подготовки, то лучше привести полный текст доказательства используемого тобой факта, благо он не длинный (предъявить формулу, задающую биекцию между точками многогранника и коэффициентами в выпуклой оболочке точек-вершин).
Если текст для физиков, то логично написать "очевидно, что выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка своих вершин, и поэтому ..." (я серьёзно)
Если текст на русском языке, то ссылаться на какие-то там работы на английском --- значит запутывать читателя и внушать ему мысль о том, что утверждение сложное, не очевидное и высоконаучное.
всё имхо, конечно же
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: