[Фунан] Предельные точки точечного спектра.

Brodnik

Оператор общего вида в L_2. Могут ли его собственные значения иметь точки "накопления", если известно, что эти точки тоже должны быть собственными значениями?
PS знаком только с ситуацией, когда предельные точки — не являются с.з. оператора.

Hana7725

Могут. Пусть [math]$\{\bar e_n\}$[/math] — ортонормированный базис. Положим [math]$A(\bar e_1)=0$, $A(\bar e_n)=\frac1n \bar e_n,\ n\ge2$[/math]. Собственные значения [math]$\{0,1/2,1/3,\ldots,1/n,\ldots\}$[/math].

svetik5623190

Да и вообще любой компактный оператор, переводящий в 0 хотя бы один вектор, и не в 0 счётное число линейно независимых векторово, подойдёт.

Brodnik

Да, прошу прощения, вопрос был задан в исключительно кривой формулировке.
Дело сводится к следующему уравнению Фредгольма второго рода:
y(w) + K(lambda)y(w) = 0,
K(lambda) — компактный оператор (интегральный) в неком банаховом пространстве. Известно, что множество {lambda}, когда это уравнение имеет нетривиальное решение лежит в ограниченной области (открытый прямоугольник в C, не содержащий 0). Просто как-то неверится, что бы где-то внутри области возникла точка накопления собств. значений, и предельная тоже была собств. значением. Есть внутреннее стойкое ощущение, что это множество должно оказаться конечным.

Hana7725

Судя по записи, здесь имеется семейство операторов K(lambda).
Без каких-то дополнительных предположений об операторах это неверно.
Непрерывной зависимости от lambda, например, хотя вряд ли этого хватит.
Можно для 1<=lambda<=2 взять в качестве K(lambda) какой-нибудь компактный оператор (у которого спектр лежит, скажем, в кругe r<3) имеющий собственное значение lambda, а для остальных lambda положим K(lambda)=0. Будет целый отрезок предельных значений lambda, для которых уравнение имеет решение.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: