Что такое Хаусдорфова размерность?

Sander

и где про нее почитать?
желательно не слишком узкого профиля, что-нибудь доступное пониманию простого смертного
(мой уровень понимания --- Колмогоров-Фомин (в смысле, что когда-то я читал и понимал что-то из этой книги :)
да, читаю я какую-то около-научную херь по теории хаоса

yurimedvedev

У меня есть книжка по теории хаоса некого тов. Кропоткина:

dimaxd

Попытаюсь объяснить.
Пусть есть некоторое множество M в R^n. Определим меру Хаусдорфа порядка \alpha для множества M следующим образом:
mes^\alpha(M)=\lim_{\epsilon->0}\inf_{r_k<\epsilon}\sum_{k} 2r_k^\alpha.
Легко(?) показать, что для каждого множества существует число \alpha_0 такое, что для \alpha<\alpha_0 его размерность Хаусдорфа будет бесконечной, а для \alpha>\alpha_0 - равной нулю. При этом размерность порядка \alpha_0 может быть бесконечной, положительной или равной нулю.
Так вот, тогда число \alpha_0 называется хаусдорфовой размерностью множества М.
Например, для всех гладких кривых она равна 1, для двумерных поверхностей - 2. Есть множества нецелой хаусдорфовой размерности, они называются фракталами. Например, для стандартного канторовского множества она равна \log_3(2).
Что почитать по этому поводу? Возьми любую книжку по фракталам, там должно быть это подробно описано.

Sander

не совсем понятно.
ругаешься формулами, объясни, тогда что значит r_k
и (2*r_k)^{\alpha} или 2*r_k^{\alpha} ?

dimaxd

) Сорри, совсем забыл сказать, что r_k - это радиусы шаров (соотв. размерности которыми мы покрываем множество М.
2) По-моему, 2*r_k^{\alpha}, но это лучше уточнить в литературе.

Sander

теперь понял, спасибо

vodnik2

еще недавно в серии "Современная математика" вышла книжка Я.Б.Песина "Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения"
Там, в частности, предалагается абстрактный и общий подход к определению "размерности чего-то", а затем он конкретизируется во многих интересных ситуациях
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: