Бросание иголки на разлинованный лист бумаги

denis24

Помогите, пожалуйста.
Задача такая - на листе бумаги нарисованы параллельные прямые, расстояние между двумя соседними - d. На лист бросают иголку длиной l. Какая вероятность того, что иголка пересечёт прямую.
Я так понимаю решение - мы рисуем две оси, на которых откладываем координату начала иголки (от 0 до d) и угол между иголкой и перпендикуляром ко всем прямым (от 0 до 2*pi). Получаем прямоугольник площадью 2*pi*d. Т.е. мы бросаем уже не иголку на бумагу, а точку в этот прямоугольник. И вот я никак не могу сообразить, как определить в общем случае множество точек, в которых иголка пересекает линию.

mtk79

позвонил капитан, говорит, что нужно написать функциональное соотношение (неравенство) пересечения иголки с координалами (x,альфа) с линией, нарисовать эту линию на прямоугольнике и вычислить площадь области

denis24

Блин, вот я этого и не могу сделать в общем случае.
Например, фиксируем координату х0. При каких углах будет пересечение? от -arccos{(d-x0)/l} до +arccos{(d-x0)/l} и от pi-arccos{х0/l} до pi+arccos{х0/l}. Правильно?
Ну и что дальше? Как площадь найти? Какую функцию интегрировать?

mtk79

если знаете графики косинуса — то лучше рисовать альфа (который лучше всего варьировать от -пи до пи) по абсциссе, и x — по ординате. Тогда неравенство нужно выразить как x<>f(cos альфа). Дальше природа подскажет. Мне штаны понравились

griz_a

Представьте себе, что у вас есть следующая система координат.
Координата x задает расстояние до ближайшей прямой от центра иглы, координата [math]$\phi$[/math] - угол между ней и иглой.
Эти две координаты полностью фиксируют положение иглы с точностью до сдвигов вправо\влево, которые мы не учитываем. (формально мы могли бы считать, что есть еще третья координата - как бы y, но она все равно просто проинтегрируется как если ее и не вводить)
А дальше остается нарисовать в этих координатах искомое множество и посчитать отношение его площади к площади множества возможных положений.

luherstag

Не помню откуда, но мне нравится следующее решение (для случая l<d).
1. Замечаем, что вероятность пересечения равна матожиданию количества пересечений.
2. Замечаем, что матожидание количества пересечений не меняется если иголка гнутая (но той же длины). Не меняется потому что это сумма матожиданий для маленьких фрагментов иголки.
3. Рассматриваем иголку в форме окружности диаметра l/pi. Вероятность пересечения получается l/(d*pi пересечений почти всегда два, поэтому 2l/(d*pi).
(EDIT: fix typo)

blackout

Не меняется потому что это сумма матожиданий для маленьких фрагментов иголки.
А ты можешь это доказать? Падения двух маленьких фрагментов это не независимые события, потому что фрагменты жестко связаны.

vsjshnikova

А ты можешь это доказать? Падения двух маленьких фрагментов это не независимые события, потому что фрагменты жестко связаны.
Это неважно, матожидания для зависимых величин тоже складываются.

mtk79

т.е. если иголку согнуть почти пополам, на угол пи/2 минус "очень мало", то Вы говорите, что вероятность для гнутой будет исходная, хотя фактическая длина объекта будет в два раза меньше?
Учитывая то, что вероятность может быть функцией только отношения l/d — я рыдаю!
upd Не, я невнимательно прочитал переформулированную задачу, и считал согнутую пополам . как "просто пересекает", без учета кратности пересечения
Скорее всего, меня смутил заведомо неправильный ответ
Вероятность пересечения получается d/(l*pi

luherstag

А, да, описался. Вероятность пересечения - диаметр делить на расстояние между полосками, т.е. l/(d*pi ну и ответ получается 2l/(d*pi).

xuliganstvo

А если согнуть иголку строго в центре на угол pi, получим "двойную" иголку длинны d/2, и результат согнуть по центру ещё n раз - получится иголка длинны d/n, где n - колличество сгибов, у неё вероятность пересечь линии должна быть значительно меньше, а по приведенному решению - такая же? Нет ли в этом противоречия?

luherstag

Нет.

griz_a

Там не вероятность, а матожидание.
Вообще главный недостаток решения в том, что задачу Бюффона исторически, да обычно и фактически решают до введения матожидания.

blackout

матожидания для зависимых величин тоже складываются.
Я и забыл, стыдно :o

denis24

Скажите, правильно ли я понял, что если мы прямую иглу изогнём в виде окружности, то это не повлияет на вероятность пересечения?
Если да, то мне непонятно, как быть в случае длинных игл, т.е. если диаметр окружности будет больше, чем расстояние между прямыми. В этом случае, очевидно будет 4 пересечения вне зависимости от положения центра окружности. А в исходной формулировке даже очень длинная игла имеет вероятность не пересечь ни одной прямой, если угол между иглой и прямыми будет достаточно мал.

griz_a

На вероятность повлияет. На матожидание числа пересечений - нет.
Окружность будет всегда пересекать линии, а прямая не всегда, зато она будет иногда пересекать целую кучу. Матожидание останется тем же.
Просто для иглы с l<d матожидание числа пересечений отрезком равно вероятности пересечения отрезком, поскольку игла пересекает либо 1, либо 0.
А для игл с l>d мы уже посчитаем другую вещь, с задачей не связанную. Поэтому Влад и написал что решение только для l<d

denis24

Спасибо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: