Обобщённый "сапог Шварца" в отжимных валиках

forester_200

Крутил-вертел "сапог Шварца", и придумалась задачка. Даю её своим первокурам, но, допускаю, что будет интересно и более искушённым представителями добро-Стади.
Рассмотрим функцию вида:
[math]$f_{p,q}(x)=x^psin\frac{1}{x^q}$[/math], при [math]$x>0$[/math]
[math]$f_{p,q}(0)=0$[/math]
где [math]$p$[/math] и [math]$q$[/math] - некоторые числа, причём [math]$q>0$[/math].
Вопрос 1. Выяснить, при каких [math]$p$[/math] и [math]$q$[/math] существует предел первой производной функции при [math]$x\to +0$[/math].
Вопрос 2. Из результата, полученного в 1-ой части, будет следовать, что производная [math]$f_{2,1}(x)=x^2sin\frac{1}{x}$[/math] при [math]$x\to +0$[/math] не имеет конечного предела, а у производной [math]$f_{3,1}(x)=x^3sin\frac{1}{x}$[/math] такой предел есть, хотя у обоих графиков как будто бы один и тот же "характер" — нечто вроде "сапога Шварца", который закатывается в параболические валики. Пояснить, что же такого особенного в геометрии [math]$y=f_{3,1}(x)$[/math] в отличие от [math]$y=f_{2,1}(x)$[/math]?
Задание творческое, поэтому формулировка второго вопроса несколько расплывчатая.
P.S. Исправленная формулировка, спасибо АВС47 за содержательные замечания :D

lenmas

Да у тебя и формулировка первого вопроса мутная. Под односторонней касательной люди понимают немного другое, нежели то, что ты имеешь в виду. Да и сапог Шварца как-то слабо ассоциируется с графиками твоих функций.
В общем, формулируй грамотней задачи студентам. Во втором вопросе, я так понимаю, ты хочешь показать разницу
между определением гладкой кривой и кривой, просто имеющей касательную в каждой точке?

forester_200

Под односторонней касательной люди понимают немного другое, нежели то, что ты имеешь в виду.
Расскажи, пожалуйста, как "понимают люди" и чем это отличается от того, что "я имею в виду" :)
Да и сапог Шварца как-то слабо ассоциируется с графиками твоих функций.
Ну я претендовал лишь на отдалённую аналогию ;)
Во втором вопросе, я так понимаю, ты хочешь показать разницумежду определением гладкой кривой и кривой, просто имеющей касательную в каждой точке?
Я бы хотел, чтобы мне объяснили качественную разницу в геометрии кривой в окрестности точки х=0. Ведь обе кривые как будто бы одинаково "устроены", но у одной касательная есть, а у другой почему-то нет.

Sergey79

Я бы хотел, чтобы мне объяснили качественную разницу в геометрии кривой в окрестности точки х=0
Ну слева кривизна равна нулю, а справа у (2,1) функции не равна нулю. А в чем смысл?

lenmas

Расскажи, пожалуйста, как "понимают люди" и чем это отличается от того, что "я имею в виду"
Под односторонней касательной люди понимают предел секущих, проведенных из точки в точки, близкие к исходной
точке, и находящиеся с одной стороны от исходной точки на кривой.

lenmas

Я бы хотел, чтобы мне объяснили качественную разницу в геометрии кривой в окрестности точки х=0. Ведь обе кривые как будто бы одинаково "устроены", но у одной касательная есть, а у другой почему-то нет.
Понимаешь, есть понятие кривой, имеющей в каждой точке касательную, а есть понятие гладкой кривой,
у которой касательная не только существует в каждой точке, но и меняется непрерывно вдоль кривой (имеется
в виду направленная касательная, чтобы исключить точки возврата).
Да к тому же у тебя у обеих кривых касательная в точке 0 есть. Только у первой касательная, приближаясь к точке
0, ведет себя разрывно, а у второй касательная меняется непрерывно, то-есть первая кривая негладкая в нуле, а вторая --- гладкая.

tester1

(x^a)sin(x^b) --- это вообще отличное семейство для построения контрпримеров. Рекомендую обратить внимание на производные этих функций. Можно построить функцию, дифференцируемую в точке n раз, но не n+1 и так далее.

forester_200

спасибо за полезные комментарии, исправил формулировку в соответствии с твоими замечаниями.
Тем не менее, вопрос 2 всё равно открытый, хотел бы услышать более детальные пояснения качественного характера.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: