легкая задачка по математике

krot-312

нужна сыну моего научника:
a^2 + b^2 = 9
c^2 + d^2 = 16
ad + bc >=12.
Найти минимальное значение выражения (b+d).
Если кто знает - подскажите!

z731a

-5

andre1941

тригонометрическая подстановка тебе поможет .
a= 3sin(alpha) b = 3cos(alpha)
c= 4sin(beta) d=4cos(beta)
=> ad+bc = 12 *(sin(alpha+beta >= 12 => alpha+beta = pi/2 +2pi*n; (1)
Далее b+d = 3sin(alpha) + 4 sin(beta) = 3 sin(alpha) + 4 cos(alpha) = 5*sin(alpha + phi) >= -5 => min = -5.

krot-312

этот метод я забыл, а алгебра не помогает. Щас позвоню ему. Надеюсь на поблажки при дипломе
Спасибо!

margo11

алгебра помогает
144 = (a^2+b^2c^2+d^2) = (ad + bc)^2 + (ac - bd)^2.
(ad + bc)^2 >= 144 => ac = bd.
Тогда 25 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (a-c)^2 + (b+d)^2 + (2ac - 2bd). Последняя скобка ноль, первая неотрицательна.
Так что |b+d| <= 5.

andre1941

о, тоже неплохо, но уж очень здесь напрашивалась тригонометрическая замена .

Tfrn

a^2 + b^2 = 9
c^2 + d^2 = 16
ad + bc >=12.
Найти минимальное значение выражения (b+d).
Задача еще имеет геометрическую интерпретацию:
Первое означает, что длина вектора (a,b) равна 3
Второе означает, что длина вектора (d,c) равна 4
Третье означает, что скалярное произведение этих векторов >= 12
Но больше 12 оно быть не может, так что оно равно 12
А раз так, значит вектора (a,b) и (d,c) сонаправленны.
Значит вектора (a,b) и (-c,d) перпендикулярны и длина вектора их суммы (a-c,b+d) равна 5.
Таким образом, b+d по модулю не превосходит 5.
Понятно, что можно подобрать такие a,b,c,d, что b+d=-5
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: