Уравнение со свёрткой

asora

Есть такое уравнение
[math]$c_1 M(B) + c_2 \int_{[1; 2]}f(x)M(B-x)dx + c_3 = 0 $ при $B > 0$[/math].
Неизвестна только функция М, её и ищем. Можно ли решить аналитически?
Cпасибо.
Забыл: M(x) = 0 при x<=0, определена на R.

svetik5623190

Хз как решать.
Если f и В известны, делаем в интеграле замену В-х=у, и уравнение становится уравнением без свёртки. Загоним теперь терминальный член (значение в точке В) под интеграл, и получим выражение вида: интеграл от М по некоторой хитрой мере с атомом равен числу. Загоним и число под интеграл (вычтем из подинтегральной функции константу получим в итоге уравнение:
[math]$\int\limits_{A}\psi(x)\phi(x)\mu(dx)=0$[/math], где А, пси, мю - известны, а фи - неизвестно и по фи легко восстанавливается эф. Сдаётся мне, что даже при указанных начальных условиях не очень очевидно, что такое уравнение имеет единственное решение.
А ещё у меня ассоциация на свёртку родилась: преобразование Фурье.
ЗЫ: Какой-то гуманитарный пост получился.
И ещё непонятно - В известно или тредуется, чтобы равенство выполнялось при любом положительном В?

asora

равенство при любом B>0 - иначе какой смысл называть свёрткой.

vovatroff

А ещё у меня ассоциация на свёртку родилась: преобразование Фурье
Та же ассоциация, ибо ПФ(f*g) = const ПФ(f) ПФ(g)
(const - что-то типа 2pi или обратной величины, * - свертка)
Ну то есть если функцию f(x) в исходном уравнении доопределить вне [1,2]
тождественным нулем, то формально можно считать, что интегрирование
там идет от минус до плюс бесконечности - тогда формула выше верна.
И получается простое уравнение для фурье-образа искомой M(x).
Единственное затруднение - свободный член c3. Если бы его не было,
все решалось бы тривиально, я думаю. А так - ведь ПФ(const) есть
дельта-функция, поэтому придется решать уравнение в обобщенных
функциях, что может быть не очень приятно.
Вот такой тоже гуманитарный ответ, но, может, он навеет какие-то идеи.

lenmas

А чего ты преобразование Лапласа не хочешь применить?

vovatroff

Кстати, это мысль. На полуоси ПЛ - как раз самое оно, и дельта-функции,
вроде, даже не возникнет. +1

young072

Сообщение удалил

vovatroff

см. выше, я написал об этом как раз.

asora

я щас немного поботаю, а потом напишу что получилось.
апд.
всё отлично решилось, спасибо ещё раз.

vovatroff

всё отлично решилось, спасибо ещё раз
Ok :)
Напишите в двух словах, как решили в итоге.

young072

Сообщение удалил

vovatroff

А если f(x) задана на всей оси?
Даже если она как-то там задана на всей оси, на уравнении
это никак не сказывается, потому в нем не содержится информации
о ее значениях вне [1,2].
Можно домножить ее на Хевисайда, это действительно дело вкуса. ИМХО.

mtk79

я, может, гоню, ибо впираться в теорию вломы, а что действительно не сделать из f функцию g=f*[H(x-1)-H(x-2)], H=хевисайд.
(Вместо звездочки-свертки буду писать sv.) Тогда в исх. уравнении можно заменить f sv.M на g sv.M и свернуть уравнение слева с g. Получится (если получится) (с1+с2)*(g sv.M)=-с3*(g sv. 1 после чего подставить полученное выражение для (g sv.M) в исходник и получить М=-c3/c1*[1+(g sv. 1)/(c1+c2)],
где (g sv. 1)=\int\limits_1^2 f(t)dt
upd. Конечно же, я гоню, спешил и почему-то решил, что f sv f=f. Прокатившись на велике мне полегчало и я понял, что это не так. Но рациональные зерна использовать алгебраические методы и "с чем-нибудь свернуть", и не вдаваться в решение интуров, мне кажется, есть

mtk79

всё отлично решилось, спасибо ещё раз.
Неужели есть что-то нетривиально отличное от константы?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: