Решить уравнение 2^x + 3^x = 6^x

NHGKU2

Нашёл вот на mmonline.ru такую задачку, попробовал решить - и нифига не получилось
Чел предлагает за решение этой задачки ящик пива: web-страница
Там зарюхали, что есть один корень между 0 и 1, я тут в Мапле выяснил, что он равен примерно 0,7878. А как точно найти корень, неясно.

satyana

точное решение, видимо, не выразимо в элементарных функциях.

NHGKU2

После нескольких неудачных попыток решить у меня тоже возникла такая мысль.
(Да оно и логично, иначе ящик пива за это не сулили бы )
Только как понять, верна эта догадка или нет?

Priss

да

Priss

(тот чел это тоже разрюхал и теперь издевается )

NHGKU2

Почему?

976evil

А в каких терминах надо выразить ответ?

NHGKU2

В каких угодно; главное, чтобы ответ точным был. 0,7878... не катит
Ещё один пример неудовлетворительного ответа: вообще говоря, ответ "решение уравнения 2^x + 3^x = 6^x" правильный, но бесполезный.
Может быть, его можно найти в виде значения некоторой элементарной или известной неэлементарной функции или их комбинаций...

976evil

Что значит каких угодно?
Какие математические функции и операции можно использовать?

yurimedvedev

А ты попробуй напиши. А мы уж скажем, можно или нельзя.

NHGKU2

+, -, *, /
exp, log, sin, cos, tg, ctg, si, ci, Гамма-функция Эйлера, эллиптические функции

evgenych

Можно еще модуль добавить, sgn, trunc, div, mod

stm7543347

hardlims и logsig...

976evil

Если кто не понял, вопрос в том, можно ли использовать предельные операции (предел, сумма ряда, интегрирование итп).
Например, легко видеть что таким образом определенное x будет решением:
y_0 = 1
y_{n+1} = log_6 {2^{y_n} + 3^{y_n}}
x = lim_{n\to\infty} y_n
Конечно, это выглядит как "халява". Но с другой стороны, немножко повозившись с формулой обращения рядов, можно получить ряд, сумма которого дает то, что надо. В принципе, это уже может считаться ответом в задаче. Идея как раз и состоит в том, чтобы преобразовать уравнение и соответствующим образом использовать некоторую предельную операцию.

NHGKU2

Думаю, с суммой ряда будет вполне неплохой ответ!
Раз уж найти его явно не представляется возможным, то можно попробовать и такой метод.
Только не совсем ясно пока, что значит повозиться с формулой обращения рядов (да и вообще, что это такое и как это сюда применить)...

kachokslava

есть у тебя последовательность:
x1, x2, x3... lim x_n = x
хочется построить ряд y1, y2, y3 ... :
sum_{i=1}^n (y_i) = x_n, => sum^\infty y_i = x
только там члены ряда крокодилами получаются. имхо не очень всё это весело..
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: