квадратная таблица.

Ruffneck

Помогите решить
Дана квадратная таблица в каждой клетке записано по числу. Известно, что в каждой строке таблицы сумма двух наибольших чисел равна a , а каждом стольбце таблицы сумма двух наибольших чисел равна b. Докажите что a=b.

Vlad128

+3
все заморочились :grin:

seregaohota

для матрицы 2x2 легко :)

kroton45

Пусть a<b.
Отметим в каждом столбце наибольшее число (если несколько - то любое). Каждое из них хотя бы b/2, т.е. если 2 из них попали в одну строку, то их сумма хотя бы b/2+b/2=b>a, что невозможно. Это значит, что все отмеченные числа стоят в разных столбцах и разных строках.
Более того, отмеченные числа - наибольшие в своих строках, иначе снова в строке сумма наибольших чисел не меньше b/2+b/2.
Теперь возьмем в таблице наибольшее число из неотмеченных, пусть x. Пусть оно стоит в строке с отмеченным v, а в столбце - с отмеченным u. Имеем u+x=b, v+x=a, т.е. u>v. Посмотрим на столбец с v. Там наибольшее число v, а второе - пусть y. По выбору x, y<=x. Тогда в столбце с v сумма двух наибольших = v+y<u+x=b. А должно быть ровно b. Противоречие.
a>b - то же самое рассуждение и то же самое противоречие.
Значит, a=b.

bvlady552

Я что-то не совсем понял это предложение: Каждое из них хотя бы b/2, т.е. если 2 из них попали в одну строку, то их сумма хотя бы b/2+b/2=b>a, что невозможно.
Если кто-нибудь может объясните пожалуйста.

Vlad128

каждое из них больше либо равно b/2, потому что максимальное из двух чисел больше (либо равно) половины их суммы, задумайтесь над этим.

bvlady552

Всё понял Спасибо всем большое)

bvlady552

А y может быть больше чем x ?

incwizitor

Альтернативное решение с минимумом букв
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: