Как оценить количество делителей числа n

bars70

подскажите как оценить количество делителей числа n, свободных от квадратов(т. е. делителей, которые не делятся на квадраты)

vsjshnikova

подскажите как оценить количество делителей числа n, свободных от квадратов(т. е. делителей, которые не делятся на квадраты)
2 в степени количество простых делителей

bars70

хотелось бы какую-то оценку, зависящую только от n либо от n и ф-ию Эйлера..
что-нить такое..

NHGKU2

[Здесь была чушь]

bhyt000043

Если [math]$m=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{\alpha_n}$[/math], то делитель свободный от квадратов имеет вид [math]$p_1^{i_1}\cdot\ldots\cdot p_n^{i_n}$[/math], [math]$i_k=\{0,1\}$[/math]. тогда Количество делителей свободных от квадратов есть [math]$2^{\omega (n)}-1$[/math], [math]$\omega (n)$[/math] - число простых делителей
Может есть хорошая оценка для омега?

Vlad128

Может есть хорошая оценка для омега?
Почему минус 1-то? Этот совет уже тут давали, правда и формула там правильная предлагалась.

NHGKU2

Можно наверное вот так: [math]$f(n)=2^{\omega(n)}$[/math] — функция мультипликативная, поэтому достаточно оценить ее на числах вида p^k, где p — простое. Но
[math]$$f(p^k)=2\leqslant 2\frac{p}{p-1}=2\frac{p^k}{p^{k-1}(p-1)}=2\frac{p^k}{\varphi(p^k)}$$[/math]
т.е. на числах такого вида имеем
[math]$$f(n)=2^{\omega(n)}\leqslant 2\frac{n}{\varphi(n)}$$[/math]
В силу мультипликативности это неравенство справедливо и для всех остальных чисел n.

margo11

последнее неравенство не верно для [math]n=30[/math]

NHGKU2

Да, налажал вчера в 4 утра :ooo:
Неправильно, конечно. В общем, тогда ничего лучше оценки количеством всех делителей не могу предложить. Может это поможет:
[math]$$2^{\omega(n)}\leqslant \tau(n)\leqslant 2^{(1+\varepsilon)\frac{\ln n}{\ln \ln n}},\quad n>n_0(\varepsilon).$$[/math]

lenmas

последнее неравенство не верно для [math]n=30[/math]
Какие тогда будут Ваши предложения? :grin:
Может, что-то с функцией Мебиуса намутить (я правильно понимаю, что это сумма по всем делителям модуля функции Мебиуса?) :confused:

margo11

Какие тогда будут Ваши предложения? :grin:
Может, что-то с функцией Мебиуса намутить (я правильно понимаю, что это сумма по всем делителям модуля функции Мебиуса?) :confused:
Не, думаю, Мебиус тут ни причем. Что потом делать с этой суммой модулей?
Думаю, последнюю оценку robina можно использовать. Если автора устроит.

bars70

Спасибо за оценки, но
конечно бы хотелось что-нить менее грубое, чем оценка на количество ВСЕХ делителей.
дело в том, что в некоторой статье делается оценка суммы. она весьма грубая, поскольку сумма берется по всем делителям, а если делитель не свободен от квадрата, то соответствующее слагаемое дает нулевой вклад.
сама сумма имеет вид
сумма(q(d)*мю(d по всем делителям d числа n, где
|q(d)| < 1, мю - ф-ия мебиуса
оценка авторов сверху - количество всех дедителей n
можно ли как-то "сгладить" оценку?

NHGKU2

Вряд ли. И оценка авторов вовсе не грубая.
Дело в том, что на бесквадратных числах n эта оценка наилучшая, а бесквадратных чисел, скажем так, "большинство" (асимптотически, что-то вроде около 2/3 от всех, а если быть точнее - 6/pi^2). Оценку улучшить если и удастся, то на остальных числах, которые по большому счету погоды не делают.
По поводу улучшения оценки суммы, лучше думать в направлении использования свойств функции q, если таковые известны, и того, что функция Мебиуса может быть +1 и -1 (так что слагаемые в сумме, возможно, будут "интерферировать").

margo11

что за функция q?

bars70

спасибо.
насчет q. к сожалению про q совсем ничего не известно кроме того, что она не превосходит 1 по модулю. Эта ф-ия перекачевала из другой оценки. Там было что-то типа
|a(k)|<b(k ну значит a(k)=q(k)b(k где |q(k)|<1. Ну а улучшать неравенство |a(k)|<b(k) это совсем другая песня..
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: