правильный треугольник с вершинами в узлах клетчатой

yuli9

почему нельзя нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги?

katrinmania

потому что sqrt(3) — иррациональное число

Vlad128

иррациональное число
У него с этим сложно, судя по соседней теме, расшифруй поподробнее =)

demiurg

рациональное число — это которое можно в виде m/n записать, где m и n целые. А иррациональное — которое нельзя.
Соответственно, если бы отношение высоты трегольника к стороне было рациональным, то можно было бы сделать n клеток сторону и m клеток высоту. А оно sqrt(3)/2, поэтому сколько б ты клеток ни клал в основание — высота всегда будет нецелым числом клеток, и наоборот.

Yansloka

теорема Пика--- площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна сумме В + Г/2 − 1, где В есть количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника. Т.е. площадь целочисленного многоугольника ---- полуцелое число.

blackout

Я так понял, что это рассуждение предполагает, что одна из сторон треугольника параллельна сетке? Но почему?

blackout

И как помогает, что площадь этого треугольника полуцелая?

katrinmania

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/00fbcadf-543e...
Доказательство 2

demiurg

ну можно повернуть на угол альфа, всё равно задача будет состоять в том чтобы четыре числа
[math]$a\cos\alpha, a\sin\alpha, a\sqrt{3}\cos\alpha, a\sqrt{3}\sin\alpha$[/math] были целыми

Yansloka

да....чо-то я плохо подумал:(

blackout

Если ты повернешь, то вершины могут попасть мимо сетки. А вообще шалер уже и решение запостил.

a7137928

Твое решение неявно подразумевает, что одна из сторон треугольника расположена горизонтально. А это вовсе не обязяно выполняться.
Здесь все достаточно очевидно, надо только выбрать наиболее простое объяснение. Мне кажется, так достаточно просто (хоть и не совсем школьный уровень):
без огр. общности одна из вершин в нуле, другая в точке (m,n). Вычислим координаты третьей вершины: она получается поворотом второй на 60 градусов, матрица поворота
1/2 -sqrt(3)/2
sqrt(3)/2 1/2
Если мы эту матрицу применим к вектору (m,n то целочисленных координат не получим.

a7137928

Доказательство 2
Хорошее доказательство, чисто школьными методами, но как будто немного искуственное.

mtk79

я не знаю, что запостил шаллер-2 — но если предположить, что одна из сторон (образованная цлочисленными вершинами) — не параллельна сетке (а ее тангенс наклона — рационален) — то для того, чтобы перпендикуляр, испущенный из середины, попал в какой-нибудь узел (кандидат на точку 3) необх, чтобы координаты середины также были рациональны * (по неб. размышлению: точнее, не совсем так — но ход мыслей — в этом направлении, я ухожу и не могу додумать). Сооветственно, раздувая в некоторое кол-во раз, можно получить подобную задачу, где длина исходной стороны — целое число. Тогда эту исходную сторону без ограничений общности можно расположить параллельной сетке, т.е. точки на одной строке. А далее — исх. замечание про иррациональность корня из 3

lenmas

Да, че-то у вас все сложно :crazy:
Вообще-то даже химики знают, что тангенс угла между прямыми вычисляется по формуле
[math]  $$  \tg\theta=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}  $$  [/math]
где k1 и k2 --- коэффициенты наклона прямых, которые в случае целочисленных точек рациональны. Так как тангенс 60 градусов равен корню из 3, то отсюда и следует фраза шаллера.

yuli9

тангенс угла между прямыми вычисляется по формулегде k1 и k2 --- коэффициенты наклона прямых, которые в случае целочисленных точек рациональны. Так как тангенс 60 градусов равен корню из 3, то отсюда и следует
вот это-идеальное решение-коротко и ясно(и самое главное правильно :cool: )
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: