- Сумма - sum(n^2) /CLOSED/

Komandor

Подскажите идею, как получить общую формулу для нахождения суммы из 'n' членов следующего вида:
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = ?

mtk79

идея: должен быть полином третьей степени с лидирующим членом n^3/3 и отсутствующим свободным членом, остальные коэфф-ы - из суммы S(1) и S(2). После подгонки ф-лы - док-ть по индукции

kachokslava

рискнём..
пусть S(n)= a*n^3+b*n^2+c*n+d
тогда S(n+1)=a*(n+1)^3+b*(n+1)^2+c*(n+1)+d = S(n)+(n+1)^2 = a*n^3+b*n^2+c*n+d+n^2+2*n+1
из этих соотношений находим:
n^3: a=a
n^2: 3*a+b=b+1 // => a=1/3
n: 3*a+2*b+c=c+2 // => b=1/2
1: a+b+c+d=d+1 // => c= 1/6
из S(0)=0 следует d=0.
итого:
S(n) = (2*n^3+3*n^2+n)/6

Komandor

Да вроде бы правильно, где-то такой ответ и ожидался. Спасибо.
Был бы признателен за метод, который использует то, что члены суммы без квадратов образуют арифметическую прогрессию: 1, 2, 3, ..., n.

lenmas

А это когда представляешь (n+1)^3-n^3 в виде 3n^2+3n+1. Потом суммируешь от 1 до n, слева разности сокращаются, а справа получается утроенная твоя искомая сумма плюс утроенная сумма арифметической прогрессии, ну и сумма единичек. Отсюда выражаешь формулу. Так по индукции получаются суммы всех степеней.

Komandor

Да, спасибо, оно.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: