Как доказать, что непрерывность не следует из выпуклости

stat7221748

Как бы покрасивше показать что что из второго первое не следует?

mez232

Берем базис Гамеля поля действительных чисел R как векторного пространства над полем рациональных чисел Q. Фиксируем любой элемент e этого базиса и рассмотрим функцию: f(x) равно коэффициенту при e в разложении x по базису. Тогда f(x) выпукла, т.к. f(x+y)=f(x)+f(y и f(x) всюду разрывна.

Dallas

f(x) не выпукла. Вообще, для функций R->R из выпуклости следует непрерывность.

stm5345716

Смотря каким определением выпуклости пользоваться. Я использовал такое определение:
f(x/2+y/2)<=1/2f(x)+1/2f(y).
Если требовать, чтобы f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y) для любого t\in[0;1], то из выпуклости (на отрезке) следует непрерывность (на том же отрезке).

Dallas

f(x/2+y/2)<=1/2f(x)+1/2f(y)
хде такое определение надыбал?

Dallas

Если требовать, чтобы f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y) для любого t\in[0;1], то из выпуклости (на отрезке) следует непрерывность (на том же отрезке).
Для отрезка неверно. Например, возьмем f(x)=1, если x=0, 0 в остальных точках. f выпукла на [0;1], но разрывна в 0.

stm5345716

В книге Харди, Литтлвуд, Полиа "Неравенства."
Я подумал, раз уж требуется доказать, что из выпуклости не следует непрерывность, то подразумевается именно это определение.

stm5345716

Да, ошибся. Тогда функция непрерывна внутри отрезка.

Dallas

В книге Харди, Литтлвуд, Полиа "Неравенства."Я подумал, раз уж требуется доказать, что из выпуклости не следует непрерывность, то подразумевается именно это определение.
зачем только придумывают такие определения?

iri3955

Это критерий выпуклости непрерывных функций

wendy8

вообще, выпуклая функция (в конечномерном пр-ве, по крайней мере) непрерывна во всех внутренних точках своей области определения.На краях, как уже упоминалось, она может быть больше.

stat7221748

вообще, выпуклая функция (в конечномерном пр-ве, по крайней мере) непрерывна во всех внутренних точках своей области определения.На краях, как уже упоминалось, она может быть больше.
Да, похоже действительно так. Есть мысли как это доказать?

wendy8

Это чисто техническое доказательство, по-моему .
Там сначала доказывается, что если f выпукла и ограничена сверху в окрестности точки x0, то она в ней непрерывна.
А потом показывается, что если f выпукла в окрестности точки x0, и дело происходит в R^n, то f ограничена сверху в этой окрестности (это просто)

croco

Достаточно взять неограниченный линейный функционал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: