Задачки по действительному анализу

NHGKU2

Подскажите, как решать, а то забылось уже всё :)
[math]1. $f_1(x\ldots,f_n(x)$ --- измеримые функции из $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$, $h$ --- борелевская функция из $(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}^n)$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$. Доказать, что $h(f_1,\ldots,f_nx)$ --- измеримая функция из $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ в $(\mathbb{R},\mathcal{B})$.    ($\mathcal{B}$ --- борелевские множества, $\mathcal{L}$ --- измеримые по Лебегу).[/math]
[math]2. Мера $\mu$ определена на кольце $S$ с единицей $X$. Доказать, что подмножество $A\subset X$ измерима тогда и только тогда, когда $\mu^*(A)+\mu^*(X\backslash A)=\mu(X)$ (где $\mu^*$ --- внешняя мера множества).[/math]

griz_a

Надо доказать - для любого борелевского B множество:
[math]$$C=\{x:h(f_1(xf_2(x..,f_n(x \in B\}=\{x:(f_1(xf_2(x..,f_n(x \in h^{-1}(B)\}$$ [/math] измеримо. Достаточно проверить это для [math]$B=(-\infty,x)$[/math], т.к. если прообраз сигма-алгебры - сигма-алгебра и прообраз порождающих элементов сигма-алгебры есть ее порождающие элементы прообраза. Но для него такого B [math]$h^{-1}(B)$[/math] открытое, как прообраз открытого при непрерывном. Значит достаточно доказать, что [math]$C_1=\{x:(f_1(xf_2(x..,f_n(x \in A\} $[/math] измеримо, где А - n-мерное борелевское множество. Аналогично можно смотреть только A, являющиеся произведениями открытых лучей.[math]$$C_2=\{x:(f_1(xf_2(x..,f_n(x \in (-\infty,x_1)*(-\infty,x_2)*...*(-\infty,x_n)\}=\bigcap\limits_{i=1}^{n} \{x:f_i(x) \in (-\infty,x_i)\} $$[/math]
Но последние множества измеримы по определению измеримой функции, значит и их пересечения измеримы

a7137928

открытое, как прообраз открытого при непрерывном
вот это непонятно откуда. Но вроде это ни на что не влияет.

Lene81

Вроде как определение непрерывности

griz_a

Пусть множество измеримо. Допустим, величины слева и справа не равны, значит отличаются не менее чем на эпсилон. Из определения измеримости найдутся элементы кольца B, такие, что [math]$\mu^{*}(B\Delta A)+\mu^{*}X/B)\Delta (X/A<\epsilon/2 $[/math] Это противоречит тому, что [math]$\mu^{*}(B)=\mu(B)$, $\mu^{*}(X/B)=\mu(X/B)$, $\mu(X/B)+\mu(B)$[/math]
Обратно можно доказать так - пусть неизмеримо, тогда найдется эпсилон, что для любого измеримого внешняя мера разности его и А не меньше эпсилон и то же самое можно сказать про X/A, т.к. оно тоже неизмеримо.
Возьмем тогда множество, являющееся не более чем счетным объединением элементов кольца Bn и покрывающее A, дополнение до него будет измеримо и обладать мерой[math]$\mu(X)-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(B_n)$[/math] и будет содержаться в X/A
Тогда мера любого измеримого множества, покрывающего X/A будет не меньше чем [math]$\mu(X)-\sum\limits_{n=1}^{\infty} \mu(B_n)+\epsilon$[/math] по предположению. Из всего этого мы получаем противоречие с тем, что сумма внешних мер A и X/A равна mu(X)
P.S. Принимал тут экзамен у 205 группы, видел твою подпись в зачетке :))

a7137928

Я понимаю. Но в условии не сказано, что h - непрерывная, она только борелевская. Если я ничего не путаю, это означает, что прообраз любого борелевского множества будет борелевским.

griz_a

Ой, да, не заметил. Ну тогда вообще по определению борелевской прообраз любой борелевской борелевский

NHGKU2

Спасибо большое, Саш! (И остальным за реплики.)
Вроде всё понятно :) Может будут мысли по поводу еще одной задачки:
[math]3. $(X,\mathcal{A},\mu)$ --- измеримое пространство, $A_n\in\mathcal{A}$ ($n=1,2,3,\ldots$) --- бесконечная последовательность измеримых множеств таких, что $\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty$. Доказать, что множество $\limsup\limits_{n\to\infty}A_n$ измеримо и его мера равна 0.[/math]
Измеримость этого мн-ва, вроде как, следует из того, что
[math]$$\limsup_{n\to\infty}A_n=\bigcup_{n}\bigcap_{k\geqslant n}A_k$$[/math]
а вот как доказать равенство 0 его меры? По-моему, что-то такое называлось леммой Бореля-Кантелли, но не уверен :)

vokus

У тебя в определении \cup и \cap перепутаны местами. Если поставить в правильном порядке, то получится, что мера искомого множества оценивается сверху любым из хвостов сходящегося ряда, поэтому равна 0.

a7137928

что-то такое называлось леммой Бореля-Кантелли
именно так

NHGKU2

Точно, \cup и \cap перепутал. Смотрю, что-то не то :grin:
Спасибо откликнувшимся. Нашел лемму Бореля-Кантелли в Ширяеве, действительно это утверждение, возьму док-во оттуда :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: