Помогите решить задачку по ф.а. / м.а

dunkel68

Пусть функция [math]$f$[/math] в [math]$R^\infty$[/math] со стандартной гауссовской мерой для любого [math]$n$[/math] допускает представление [math]$f=f_n + g_n$[/math], где [math]$f_n$[/math] — многочлен степени [math]$d$[/math], а [math]$g_n$[/math] не зависит от переменных [math]$x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$[/math]. Доказать, что [math]$L^2$ функций [math]$f_n$[/math] в совокупности ограничены.

dunkel68

Сам я знаю доказательство, при дополнительном ограничении, что [math]$f_n$[/math] не зависят от переменных [math]$x_{n+1},\ x_{n+2},\ \dots$[/math]. Выкладываю его ниже.
[math]  {\bf Лемма 1.} {\it    Пусть $h$~
[math]   Чтобы доказать требуемую оценку, покажем, что при достаточно малых~$t$ выполнено неравенство   $$    \frac{t^3}{3!} \|h\|^3_{L^3} < \frac12\cdot \frac{t^2}{2!} \|h\|^2_{L^2}.   $$   Используя эквивалентность $L^p$

dunkel68

[math]  {\bf Лемма 2.} {\it   Пусть в представлении $f = f_n + g_n$ функции $f_n$ зависят только от переменных $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, а функции $g_n$~
[math]  {\it Доказательство.}  Предположим, что $\|f_n\|_{L^2} \to \infty$ при $n\to\infty$. Тогда   $$   \forall\varepsilon>0\quad \exists n\colon \|f_n\|_{L^2}> \frac1{\varepsilon}.   $$  [/math]
[math]   Рассмотрим преобразование Фурье функции~$f$ при малых $t$ (для которых выполнена лемма~\ref{lem:01}):   \begin{equation}    \,\phi_f(t) =  \int\limits_X e^{it(f_n+g_n)}d\gamma = \int\limits_X e^{itf_n}d\gamma \cdot \int\limits_X e^{itg_n}d\gamma.   \end{equation}  [/math]
[math]   Отсюда, используя оценку из леммы~\ref{lem:01}, получаем, что $\phi_f\big(\min\{t,\varepsilon\}\big) \le 1-C$, но $\phi(0)=1$. Полученный результат противоречит непрерывности функции~$\phi$ в~нуле. Лемма доказана.  [/math]

griz_a

Да это не так, в общем-то.
Функцию 0 можно разложить как [math]$10^n x_{n+1} - 10^n x_{n+1}$[/math]

dunkel68

Тогда стоит добавить, что при построении такой последовательности разложений, получалось, что [math]$f_n$[/math] обязательно существенно зависят от переменных [math]$x_1,x_2,\dots,x_n$[/math], если от них существенно зависит исходная функция [math]$f$[/math] и все подобные слагаемые приведены (не знаю, как формализовать это условие).
Или и в этом случае сразу же контпример находится?

griz_a

неважно. Я возьму [math]$f(x)=\sum\frac {x_k}{k^2}$[/math], [math]$f_n(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac {x_k}{k^2}+\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac {10^k x_k}{k^2}$[/math],

dunkel68

Спасибо за примеры, они мне сильно помогли для того, чтобы осознать какие же всё-таки у меня получаются f_n: последнее ограничение, которое родилось, что интеграл по произведению первых n мер от f_n есть тождественный ноль (хочу таким условием исключить возможность построения искуственных примеров типа «вычел-добавил»)
Я правда пока сам не успел подумать, насколько это упрощает ситуацию, но за любую помощь буду благодарен.

griz_a

То, что интеграл от f_n (многочлена) по первым n координатам равен нулю при всех значения остальных координат, означает, что он как многочлен от этих остальных коэффициентов равен 0, а значит любой моном из этих остальных координат входит в многочлен, умножаясь на многочлен от первых n координат, интеграл от которого 0.
При этом, f_n - f_{n+1}=g_n-g_{n+1} - многочлен только от x_{n+1},...
Но это разность двух многочленов, в первом из которых мономов из x_{n+1},... без x_n...x_1 не было. Следовательно, в f_{n+1} все мономы в разложении либо совпадают c f_n, либо являются функциями от x_{n+1} и далее.
Значит, f_n имеет такой вид:
f_1 есть многочлен вида [math] $x_1*P^{(1)}_1(x_2,...)+x_1^3 * P^{(1)}_3 (x_2,...)+....$[/math]
f_2 есть [math]$f_1 + x_2 * P^{(2)}_2 (x_3,..)+.. $[/math]
...

dunkel68

Да, так оно и есть...

griz_a

А у f норма ограничена?

dunkel68

Изначально формулировка задачи такая:
[math]  Пусть $X$~
Далее мы с научным руководителем пришли к выводу, что можно получить разложение f = f_n + g_n с указанными свойствами и хотим доказать, что нормы f_n ограничены. Тогда из этого далее некоторыми достаточно простыми рассуждениями получается, что всё хорошо.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: