Посчитать сумму первых к членов последовательности

k1a2r3t4a

члены последовательности: C(a , a+s) * q^s ;
первый множитель - число сочетаний a+s по a
a-константа a=0 , 1 , 2 ,...
q - константа ; q < 1
s - индекс суммирования, переменная . s = 0, 1 , 2, ..., k
Надо посчитать сумму первых k членов такого ряда. Найти аналитическое выражение S=S(k)
______________________________________
Сколько не искал, не нашел типовой задачи с производящими функциями. Самая близкая задача
найти производящую функцию следующей последовательности:
f(n) = C(n , n+p-1)alpha^n; для нее производящая функция будет разложением в ряд Тейлора в окрестности нуля и в результате получается f(z) = 1/(1-alpha*z)^p
но тут индекс суммирования n , а мне надо чтоб суммирование шло по p

Niklz

для бесконечной суммы будет
 [math]$$\sum_{s=0}^{\infty}  \binom{a+s}{a} q^s ={1 \over (1-q)^{a+1}}$$ [/math]
если ты умножишь на q^a и сделаешь замену переменной.
для частичной - хз, не уверен, что есть красивый замкнутый вид

k1a2r3t4a

Отлично! Бесконечный ряд действительно такой. Осталось узнать, как для частичной суммы посчитать.... Может выявить закономерность и потом доказать методом мат. индукции что она истинна для произвольного k ?

lenmas

Отлично! Бесконечный ряд действительно такой. Осталось узнать, как для частичной суммы посчитать.... Может выявить закономерность и потом доказать методом мат. индукции что она истинна для произвольного k ?
Дифференцируй формулу суммы конечной геометрической прогрессии
[math]  $$  \sum_{s=-a}^Nq^{s+a}=\frac{1-q^{N+a+1}}{1-q}  $$  [/math]
a раз и дели на a! и будет тебе счастье. :)

Niklz


и будет тебе счастье
результат дифференцирования a раз правой части, как-то мало радует
и по моему, чтобы получить ряд топикстартера, дифференцировать надо всё таки [math] $\sum_{s=0}^N q^{a+s}$ [/math]

lenmas

результат дифференцирования a раз правой части, как-то мало радует
Ниче, пусть потренируется формулу Лейбница поприменять :grin:
А для твоей суммы формула такая же простая?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: