Ограниченные множества

Pavel307

Пусть у нас есть сепарабельное метризуемое топологическое пространство.
Подскажите как доказать, что в любой метрике(порождающей исходную топологию) класс ограниченных множеств будет одним и тем же. :confused:

lenmas

А что такое ограниченность в метрическом пространстве?
Просто сформулируй адекватно вопрос, сам же и ответишь.

Pavel307

А что такое ограниченность в метрическом пространстве?
множество ограничено-является подмножеством шара

Pavel307

Просто сформулируй адекватно вопрос, сам же и ответишь.
:crazy:

vitamin8808

Рассмотрим множество натуральных чисел с дискретной топологией.
Метрика 1: d(n, m) = |n-m|.
Метрика 2: d(n, m) = |1/n - 1/m| (как подпространство R, состоящее из точек 1/n).
В первом случае неограниченные множества есть, во втором нету.
PS Ну или просто R и (0,1 ещё проще пример.

antill

более того, любое метрическое пространство гомеомерфно (но, конечно, не изометрично!) метрическому пространству диаметра не более 1.
если r --- метрика в исходном пространстве, то второе пространство получается путём введения на носителе исходного пространства метрики r1=r/(r+1)
при гомеоморфизме некоторые метрические свойства могут потеряться: например, полнота, как в примере с (0,1) и R
(попутное замечание
носитель метрического (и вообще любого) пространства --- это множество, на котором введена метрическая (и вообще любая) структура
пространство = упорядоченная пара множества-носителя и структуры на нём)

antill

кстати, а может быть, вопрос касается топологических векторных пространств? тогда это совсем другое дело...

lenmas

кстати, а может быть, вопрос касается топологических векторных пространств? тогда это совсем другое дело...
Да понятно, что к векторным, но тогда доказывать нечего, так как там определение окрестностное.

Pavel307

может быть, вопрос касается топологических векторных пространств
на самом деле вопрос касается польских пространств.
(Polish space is a separable completely metrizable topological space).
кстати как это по русски правильно будет:сепарабельное ?полно, полное? метризуемое топологическое пространство.
правда ли что стандатное определение польского пространства-это именно метризуемое, а не метрическое?

lenmas

Да, это метризуемое пространство, полное в одной из метрик, дающих ту же топологию.
В книжке Куратовского это довольно подробно освещается.
Вообще, топологическое пространство называется полным, если оно полно в какой-то из метрик, задающих эту топологию. Очень полезная книжка.
А ограниченность в метрических пространствах тебе вроде осветили выше в постах.
Твой вопрос видимо заключается в том, что в любых двух полных метриках, задающих топологию польского пространства, набор ограниченных множеств одинаков.
Я что-то не могу сразу сообразить почему это так, давно в голове уже не держал эти понятия.

antill

метризуемое, а не метрическое?
между метризуемыми и метрическими пространствами разница условная: в первом случае утверждается, что СУЩЕСТВУЕТ метрика, задающая данную топологию, а во втором случае такая метрика УЖЕ ЗАДАНА
короче, эти два термина можно смело использовать как синонимы, все так делают

antill

по русски правильно будет: полное метрическое сепарабельное пространство
(если нет желания совсем подробно говорить)

Vlad128

Жесть какая! Когда говорят метрическое, подразумевается заданность метрики, когда говорят метризуемое, подразумеваются нужные свойства, никто эти понятия никогда и не путает :)

stm7543347

Метризабельное.

stm7543347

По-полному!

antill

Жесть какая!
спокойнее, коллега, спокойне ;)
Когда говорят метрическое, подразумевается заданность метрики, когда говорят метризуемое, подразумеваются нужные свойства, никто эти понятия никогда и не путает
и эти "нужные свойства" заключаются ровно в том, что существует метрика, порождающая топологию пространства. раз она существует, то можно к ней обращаться: рассматривать шары по этой метрике (другое дело что явно перечислить, указать элементы этих шаров возможности нет можно в построениях использовать тот номер n, начиная с которого некотороя последовательность войдёт в эпсилон-шар, можно использовать (но не вычислять) число элементов в эпсилон-сети и т.п.
таким образом, (в контексте общей топологии) разница между метрическим и метризуемым состоит в том, что в первом случае метрика задана, а во втором сущетвует
другое дело, что метрическое пространство можно не рассматривать как топологическое, а вот метризуемое топологическое пространство без топологии рассматривать не корректно, поскольку метрика не обязательно задана однозначно
так что ты прав, конечно
но и я прав
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: