Задача по матанализу

v7e7t7e7r

попросили запостить...помогите решить
Найти div(grad f(r. Выяснить, когда div(grad f(r=0, f принадлежит C^1(R)

bhyt000043

Если имеется ввиду [math]$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$[/math], то [math]$div (grad\ f)=\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{\partial r}\frac{2}{r}$[/math]

v7e7t7e7r

да да r=sqrt(x^2+y^2+z^2) а как вычисляется?

svetik5623190

[math]$div \ grad\ f=\Delta f$ [/math]

lenmas

У тебя какая-то формула неправильная (чисто на взгляд). Поподробнее объясни доказательство?

vovatroff

Там перед первой производной коэффициент 2/r, а не 4/r, точно говорю. См. вид лапласиана в трехмерных сферич. координатах. То, что написано, это для 5-мерного пространства, если не ошибаюсь.

vovatroff

Долгой и упорной заменой переменных это выводится, хотя есть и более изящные способы.

lenmas

Да нет, все проще, с использованием соотношения
[math]  $$  \frac{\partial}{\partial x_k}r=\frac{x_k}r.  $$  [/math]

vovatroff

Когда от углов ничего не зависит - выкладки проще, согласен.

bhyt000043

[math]$$  div (grad\ f) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial  f}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial  y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) +  \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial  z}\right) =  $$[/math]
[math]$$   = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial  f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}\right) +  \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial  r}\frac{\partial r}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial  z}\left(\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial  z}\right) =  $$[/math]
[math]$$   = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial  f}{\partial r}\right)\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial  f}{\partial r}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial  r}{\partial x}\right) + \ldots  $$[/math]
[math]$$  =\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial f}{\partial  r}\right)\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2 +  \frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial}{\partial  x}\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right) + \ldots  $$[/math]
[math]$$  =\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}\left[\left(\frac{\partial  r}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial r}{\partial  y}\right)^2 + \left(\frac{\partial r}{\partial z}\right)^2\right] +  \frac{\partial f}{\partial r}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}  + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial  z^2}\right) + \ldots  $$[/math]
[math]$$  \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}  $$[/math]
[math]$$  \frac{\partial^2 r}{\partial x^2} =  \frac{y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}  $$[/math]
[math]$$  =\frac{\partial^2 f}{\partial  r^2}\left(\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}\right)^2 + \frac{\partial  f}{\partial  r}\left(\frac{2x^2+2y^2+2z^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\right)  $$[/math]
[math]$$  =\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{\partial  r}\left(\frac{2}{(x^2+y^2+z^2)^{1/2}}\right)  $$[/math]
Здесь я аналогичные производные по y и z заменяю троеточием

vovatroff

Формула для второй производной r по x неправильная. Забыл про знак в одном из слагаемых, проверь.

bhyt000043

Точно! Забыл поставить знак минус. Как было сказано, получается в точности
[math]$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{\partial r}\frac{2}{r}$[/math]
Из [math]$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial f}{\partial r}\frac{2}{r}=0$[/math]
получается простой дифур, решаемый методом разделения переменных

vovatroff

Да, решается тривиально. Смущает только класс гладкости C^1(R) в самом первом посте, ведь уравнение второго порядка. Или это подвох на тему обобщенных решений, или просто опечатка. Топикстартер, ау!

v7e7t7e7r

в условии задачи было так написано :smirk:

vovatroff

У этого уравнения два л. н. решения, одно константа, другое 1/r. Судя по всему, требовалось найти то из них, которое непр. дифф. на всей оси, т.е. f=const. Так?

v7e7t7e7r

хз.
в ответе написано f=c1 + c2/r

vovatroff

Это общее решение, линейная комбинация тех двух, про которые я написал выше. Если условий гладкости на решение не накладывать, то это и есть ответ. Меня смущает только, что условие гладкости было наложено, а второе слагаемое ему в нуле, очевидно, не удовлетворяет. К сожалению, я до вечера занят, и подробнее вникнуть не смогу. Может, еще кто-нибудь выскажется.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: