Задача на интеграл

s4d3v2g

задача: интеграл(|f(x+h)-f(x)|dx) на отрезке [0,1]
функция f - периодическая с периодом 1 и непрерывная
показать, что интеграл стремится к нулю при h стремящемся к 0.
Вопрос:
если в решении интеграл переписать как предел суммы: т.е. получится
lim(h->0)интеграл(|f(x+h)-f(x)|dx)= lim(h->0)lim(Сумма
так вот правомерно ли будет lim(h->0) вносить под знак суммы?

Focz

Есть правила для внесения знака предела под интеграл, мм 3 семестр. Сам не помню.

Focz

Если |f(x+h)-f(x)| сходится равномерно, при h->0, то все ок.

griz_a

Ты хочешь переставить предлы, а это не всегда правомерно, вообще говоря. Имея равномерность можно.

Focz

Учитывая, что f - непрерывная, то подинтегральная функция сходится равномерно на [0,1].

mtk79

а теперь главный вопрос: при чем здесь 1-периодичность?

stm5345716

а теперь главный вопрос: при чем здесь 1-периодичность?
Чтобы f(x+h) было определено. А вот непрерывность не по существу, достаточно интегрируемости (по Лебегу)

s4d3v2g

В ответ на:
а теперь главный вопрос: при чем здесь 1-периодичность?
Чтобы f(x+h) было определено. А вот непрерывность не по существу, достаточно интегрируемости (по Лебегу)
подскажите как обосновать правомерность внесения предела под интегральную сумму (не зная понятия равномерности сходимости)
з.ы. потому что задача из 2 семестра матанализа, когда люди не знают про равномерную сходимость.

stm5345716

А здесь не надо знать равномерной сходимости, надо знать про равномерную непрерывность (по-моему, это первый семестр). Из равномерной непрерывности следует, что для любого epsilon>0 при достаточно малом h будет |f(x+h)-f(x)|<epsilon для всех x. Интегрируя, получаем, что и интеграл меньше эпсилон.

vokus

Про равномерную непрерывность в 2 семестре знать должны. А именно, \forall \epsilon \exists h_0: \forall h \leq h_0 \forall x \in (0,1) |f(x+h) - f(x)| \leq \epsilon
Соответственно, интеграл по отрезку длины один от этого модуля будет меньше \epsilon.
Упс, опоздал.

Abdim59

Во, спасибо!
А то мы чего-то запарились над возможностью перемены пределов местами.
PS Я думаю, никто не обиделся, что я за топикстатера ответил?

stm5345716

PS Я думаю, никто не обиделся, что я за топикстатера ответил?
Я не обиделся
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: