Занимательная задачка, волк, заяц, круглое озеро

kirillba

тест, насколько быстро ее решают форумчане
есть круглое озеро. вокруг него бегает волк. по озеру плавает в лодке заяц. т.к. лодка тяжелая, то он плавает в 4 раза медленнее, чем волк. На берегу заяц бегает быстрее, чем волк.
изначально заяц находится в центре озера. Стратегия волка: - волк умный и хочет есть
вопрос:
а) как зайцу спастись?
б) до какого максимального числа можно увеличить разницу в скоростях? (upd: ответ НЕ pi+1)

blackout

Какой-же это тест? Он покажет не несколько быстро форумчане решат задачку, а насколько быстро найдется человек, который знает решение и которому не лень его запостить.

kirillba

почему? можно же на пару секунд предположить, что все, кто знает решение, друужно не будут его здесь постить

fabio

КО: а) может зайчику надо все время плыть в противоположную от волка сторону

kirillba

ну какбе что есть противоположная сторона и почему он так сможет выплыть?
P.S. заминусили, заминусили :grin:

fabio

заяц начинает плыть ровно в другую сторону от волка - волк не знает в какую сторону метнуться потому что расстояния одинаковы и он самый умный - остается на месте и подыхает с голоду ну как тот осел

kirillba

ты знаешь правильное решение или нет?
готов добавить в условие, что волк умнее буриданова осла и в случае равнозначности выбора сторон выбирает сторону рандомно.

Lorinda

Флэш-развлекалово: http://artcraft.cz/fun/duck.html

kirillba

фиг с вами. пункт а) элементарен.
но вот скажи, например, можно ли решить задачу при разнице скоростей 4.6?
(гуглом пользоваться нечестно)

Lorinda

Нет. :mad: Решаем, как в , заменяя 4 на некоторую переменную [math]$k$[/math]. Получаем, что [math]$k < \pi + 1$[/math].

kirillba

фишка в том, что этот алгоритм неоптимален. и ответ - да, может спастись и при 4.6.
Но доказательство этого - уже не занимательная задача, а чуть посложнее.
Ха, господа КО ошиблись

Lorinda

Неоптимален, согласен. Подловил. :) Предлагаю тебе оправдать создание новой темы описанием оптимального решения.

kirillba

оптимальная стратегия начинает описываться с r_0=R/k, где k - коэффициэнт, во сколько раз отличаются скорости.
для каждого r подбираем такое \alpha - угол наклона скорости зайца к направляющему радиусу, что
(\phi)'_r = min, где \phi - угол между направляющими радиусами зайца и волка.
т.е. при фикс r и переменном \alpha \phi'_r должно достигать своего минимума по \alpha.
получается функция \alpha(r вычисляемая в явном виде.
по этому \alpha(r) вычисляем, на какой угол повернется направляющий радиус зайца, пока заяц плывет до берега - это будет некий угол \beta, а также сколько времени он будет плыть до берега.
вычисляем время, за которое по этой траектории проплывает заяц, и пишем уравнение, что в итоговую точку волк прибежит за то же время. коэффициэнт k из этого уравнения вычисляется уже только численно, и он равен 4.60.. и это уже оптимальная стратегия.
Всё это в цифрах может быть распишу чуть позже.

griz_a

По моим прикидкам можно убежать при отношении скорости волка к скорости зайца k, где найдется альфа:
[math]$\pi sin \alpha+lnk cos\alpha=k-1$[/math]
При aльфа равному pi/2, в частности, выходит pi+1
Но я считал, что заяц под постоянным углом к окружности плывет, чтобы гемора было поменьше

griz_a

Значит по моей стратегии оптимум будет при [math]$\pi^2+(lnk)^2=(k-1)^2$[/math]
4.48 максимум :(

Lene81

Существует такая окружность в озере, на которой угловая скорость зайца равна угловой скорости волка. Ее радиус r=Vз/Vв*R,
где R — радиус озера.
Заяц, плавая по окружности, меньшей этого критического радиуса может добиться того, что он окажется на линии волк-диаметр меньшей окружности, причем на наибольшем удалении от волка. В этот момент он должен начать грести к берегу. Его путь
R-r
займет время
(R-r)/Vз,
в то время как волку придется бежать пол-окружности
πR,
на что требуется время
πR/Vв
приравнивая эти времена, получаем
(R-r)/Vз = πR/Vв
R(1-Vз/Vв)/Vз = πR/Vв
(Vв-Vз)=πVз
Ответ:
Vв = (1+π)Vз

Lene81

Щекотливой частью доказательства является стратегия прямолинейного движения зайца к берегу от "предельной" окружности. Подумаю, можно ли чего здесь изобрести.

griz_a

Я же уже говорил - можно плыть не перпендикулярно окружности, а под углом к ней. С переменным углом вон пишут 4.6 можно, с постоянным почти 4.5

lenmas

С задачами, которые имеют известное решение, все умные. А вот попробуйте найти каблук наименьшей площади, которым можно накрыть абсолютно гибкую нить длины l при любом ее падении на пол. :grin:
, это не к тебе лично, а ко всем вышеотписавшимся, а особенно к топикстартеру :)

dmitry131

по озеру плавает в лодке заяц. т.к. лодка тяжелая, то он плавает в 4 раза медленнее, чем волк.
Я чего-то не понял - волк по-любому должен просто приплыть и съесть зайца?
Ведь он плавает в 4 раза быстрее зайца...

kirillba

гм.. прикольно..
я ставлю на то, что ответ pi l^2/8 - полукруг, натянутый на диаметр l.
но доказать это у меня пока не получается..
а ты сам знаешь решение?
P.S. ну кстати про 4.6 в моей задачке я сам узнал только в этом году, так что это не такая уж известная задачка

mtk79

плавая по окружности, меньшей этого критического радиуса может добиться того, что он окажется на линии волк-диаметр меньшей окружности, причем на наибольшем удалении от волка.
Интересно, как плавая по окружности радиуса, меньшего r, можно попасть на окружность радиуса, равного r

kirillba

ты имеешь ввиду, что он может двигаться к маленькой окружности бесконечно долго?
можно доказать, что для любого e>0 можно выйти на эту окружность за конечное время, получив между собой и волком угол больше, чем pi-e. заяц в какой-то момент может забить и доплыть до малой окружности по прямой.
в любом случае, мы получим точную верхнюю грань возможных различий скоростей - т.е. она в любом случае будет недостижима, поэтому описание стратегии для любого различия скоростей, меньше некоторого k_0, будет вполне себе решением.
давайте решать про каблук
пожалуй, там не полуокружность..

Lorinda

Мне кажется, если взять равнобедренный треугольник с основанием [math]$l$[/math] (чтобы вписать нить, если она упадёт прямой) и перпендикуляром к нему длины [math]$\frac{l}{2 \sqrt(2)}$[/math] (чтобы вписать нить, если она упадёт и станет «прямым углом» описать вокруг этого треугольника окружность и взять меньший сегмент соответствующего круга, отсекаемый основанием треугольника, то это и будет искомая фигура (немного путано объяснил, ну да ладно). Правда, я в этом не уверен, и доказать тоже не могу.

kirillba

мб полуэллипс с осями l и l/2sqrt2?
пока тоже без доказательства..

a7137928

половина правильного шестиугольника со стороной l/3 не влезет в твой треугольник
: эллипс кажется избыточным. Он слишком большой.
И вообще, неочевидно, что фигура должна быть симметричной.

Lorinda

: половина правильного шестиугольника со стороной l/3 не влезет в твой треугольник
В сам треугольник не влезет, да, но я про сегмент круга говорил. В него влезет.

a7137928

Да, пардон, невнимательно прочитал. Сегмент на глаз как будто подходит, но считать уже неохота

Lorinda

Не, в итоге я сам нашёл косяк, этот сегмент не подходит. В него не влезает нить буквой «П» из трёх прямых по [math]$\frac{l}{3}$[/math], причём совсем чуть-чуть.
Тогда предлагаю чуть модифицированный вариант: если взять отрезок длины [math]$l$[/math] и «поставить» на него квадрат со сторонами [math]$\frac{l}{3}$[/math] (совместив одну из сторон квадрата с отрезком так, чтобы совпали середины стороны и отрезка и описать окружность вокруг получившегося четырёхугольника, то сегмент круга, отсекаемый отрезком, подойдёт. Другими словами, это сегмент круга радиуса [math]$\frac{\sqrt{10}}{6} l$[/math], отсекаемый отрезком длины [math]$l$[/math].
А, и ещё появилась идея. Можно провести отрезок длины [math]$l$[/math] через центр квадрата со сторонами [math]$\frac{l}{3}$[/math] параллельно двум сторонам квадрата (совместив центр отрезка и центр квадрата) и описать две окружности (вокруг концов отрезка и соответствующих пар вершин квадрата). Тогда мы получим фигуру из двух сегментов («потоньше», чем в предыдущем абзаце) с совпадающими «основаниями». Но что получится меньше по площади (один большой сегмент, как в предыдущем абзаце, или два поменьше я пока не считал.

griz_a

Мне кажется, что АБЦ дал эту задачу как пример той, которую еще не знают как решить %)

Lorinda

А, и ещё появилась идея. Можно провести отрезок длины [math]$l$[/math] через центр квадрата со сторонами [math]$\frac{l}{3}$[/math] параллельно двум сторонам квадрата (совместив центр отрезка и центр квадрата) и описать две окружности (вокруг концов отрезка и соответствующих пар вершин квадрата). Тогда мы получим фигуру из двух сегментов («потоньше», чем в предыдущем абзаце) с совпадающими «основаниями». Но что получится меньше по площади (один большой сегмент, как в предыдущем абзаце, или два поменьше я пока не считал.
О, ещё лучше придумал. Можно провести тот же отрезок длины [math]$l$[/math] через центр квадрата не параллельно двум сторонам, а по диагонали, через две вершины. И, опять же, составить фигуру из двух сегментов, соприкасающихся «основаниями» длины [math]$l$[/math]. Площадь будет меньше.

Lorinda

Мне кажется, что АБЦ дал эту задачу как пример той, которую еще не знают как решить %)
Возможно. Тем интереснее её решать. :grin:

Vlad128

Мне кажется, что АБЦ дал эту задачу как пример той, которую еще не знают как решить %)
На 2004й год она точно была живой математической проблемой, новостей не знаю =)

Vlad128

Там очень хорошей фигурой является

Vlad128

А хотя я, наверное, нагнал. Там была такая: минимальный радиус окружности, внутри которой заведомо поместится фигура диаметра 1, вроде так.

Lorinda

Треугольник Рело? :) Хех, надо подумать.

Vlad128

О, спасибо за название, как раз хотел спросить =)

Vlad128

Нет, это точно гон. Вот забыл и все тут :(

lenmas

а ты сам знаешь решение?
Ну я же говорил, что не знаю (и даже не знаю, знает ли кто-нибудь узнал про эту задачу от Чубарикова в далеких 90-ых :)
Я только могу понять про pi*l^2/4. Полукруг тоже не знаю как строго обосновать, только для двузвенной ломаной.

z731a

В такой формулировке задача имеет одно очевидное решение:
а) оставаться в центре озера

Vlad128

ок, надо добавить: заяц подыхает с голода через 3 часа.

Sergey79

а волк?

mtk79

от безысходности через 2.
ПС. Самое интересное, что до этого в задаче никакие линейные/временные масштабы не вводились
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: