как доказать, что последовательность сходится к корню из N?

Verochka

Последовательность, по-моему, имеет вид a(n + 1) = a(n) + 2 / a(n или другой похожий вид. Где про последовательности такого и других видов можно прочесть, что это за раздел математики и, если я неправильно написал исходную формулу для n-го члена последовательности, помогите вспомнить верную формулу.

vsjshnikova

Численные методы решения нелинейных уравнений.
Правильная формула - [math]$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{a}{x_n})$[/math]. последовательность x_n сходится к корню из a.
Доказательство: Нудные выкладки, сводящиеся в итоге к [math]$|x_{n+1} - \sqrt{a}| \leqslant \frac{|x_n - \sqrt{a}|^2}{2\sqrt a}$[/math], и если начать с x_0 = 1, то эта разность будет быстро стремиться к 0.

Vlad128

ну вообще главная идея в том, что при определенных условиях оно сходится к неподвижной точке (т.е. для последовательности вида a(n+1) = f(a(n решаешь x = f(x. Этим определенным условием очень часто является то, что f(x) является сжимающим в данном интервале (|f'(x)| < 1)

Verochka

Спасибо всем отметившимся. В любых ЧМах это расписано и показано?
для последовательности вида a(n+1) = f(a(n решаешь x = f(x)

Где это посмотреть? Исследование ур-я приводится где-нибудь?

Vlad128

В ЧМах приводится детальный анализ скорости сходимости. Чтобы просто доказать сходимость, я бы туда смотреть не стал. А глянул просто на динамические системы с дискретным временем.
Что там анализировать в этом уравнении? Просто смотришь x = 1/2 * (x + a / x) => x = sqrt(a) подходит, так обычно и бывает. Дальше считаешь производную f'(x) = 1/2(1 - a/x^2) f'(sqrt(a = 0, значит будет сходимость в некотором интервале.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: