Задача по функану

semute

Просили запостить люди, не имеющие логина и находящиеся не в общаге.
Доказать, что оператор [math]$$A$$[/math] с матрицей [math]$$a_{ij}$$[/math], [math]$$i,j=1,...,\infty$$[/math], где [math]$$a_{ij}=\frac{1}{i+j}$$[/math], ограничен в пространстве [math]$$l_2$$[/math], причём [math]$$\|A\|\leqslant\pi$$[/math].

stm7886047

Пусть [math]${e_i}$[/math] - стандартный базис [math]$l_2$[/math].
1. Докажем, что [math]$\forall i \in N ||Ae_i|| \leqslant 2||e_i|| $[/math]
2. Покажем, что [math]$\forall x \in l_2 ||Ax|| \leqslant 2||x|| $[/math]

stm7886047

Можно показать так:
[math]$||Ae_i|| = \left|\left|\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{1}{i+j}e_j\right|\right| = \sqrt {\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{1}{(i+j)^2}} $[/math]
[math]$\sum\limits_{j=1}^\infty \frac{1}{(i+j)^2}  < \int\limits_i^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx = \left. -\frac{1}{x}\right|_i^{+\infty}=\frac{1}{i}$ [/math]
таким образом,
[math]$||Ae_i|| < \frac{1}{\sqrt i}  $[/math]

stm7886047

С пунктом 2. я поторопился...

lenmas

Это неравенство Харди. Почитай книжку Duren P.L. Theory of Hardy spaces.

semute

Они почитали. Говорят, вроде ни малейшего отношения к задаче не нашли.

lenmas

Они почитали. Говорят, вроде ни малейшего отношения к задаче не нашли.
Как это? Там в приложениях смотрите лучше. Матрица Гильберта там есть. Сейчас попробую сам посмотреть, если у меня книжка, конечно, есть в наличии.
В интернетах пишут, что это Corollary to Theorem 3.14, p. 48.
Или пусть смотрят Харди, Литлвуд, Пойа "Неравенства", если такие плохие искуны.

lenmas

Можно доказать так (это кстати из книжки Дюрена).
Пусть b_n --- комплексные коэффициенты Фурье действительной ограниченной функции psi(theta).
Тогда
[math]  $$  \sum_{m,n=1}^Na_ma_nb_{m+n}=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\Bigl(\sum_{n=1}^Na_ne^{in\theta}\Bigr)^2\psi(\theta)\,d\theta.  $$  [/math]
Отсюда получаем неравенство
[math]  $$  \Bigl|\sum_{m,n=1}^Na_ma_nb_{m+n}\Bigr|\leqslant\sup_{0\leqslant\theta\leqslant2\pi}|\psi(\theta)|\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\Bigl|\sum_{n=1}^Na_ne^{in\theta}\Bigr|^2\,d\theta=\|\psi\|_\infty\sum_{n=1}^N|a_n|^2.  $$  [/math]
Так как коэффициенты b_{m+n} симметричны, то отсюда следует и неравенство
[math]  $$  \Bigl|\sum_{m,n=1}^Na_ma_n^\prime b_{m+n}\Bigr|\leqslant\|\psi\|_\infty\|a\|_2\|a^\prime\|_2.  $$  [/math]
Если взять psi(\theta)=\pi-\theta, то b_n=i/n и получаем обычное неравенство Гильберта
[math]  $$  \Bigl|\sum_{m,n=1}^N\frac{a_ma_n^\prime}{m+n}\Bigr|\leqslant\pi\|a\|_2\|a^\prime\|_2.  $$  [/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: