Математика операционного усилителя, охваченного ООС и ПОС

Solefald

Есть в электронике такая штука, операционный усилитель(ОУ).
Принцип ее действия очень прост - она берет напряжение на своем неинвертированном входе и вычитает из него напряжение на инвертированном, а потом полученную разность умножает на коэффициент К, который оооочень большой, например миллион, и выдает на выход.
Одно из применений ОУ - неинвертирующий усилитель, когда вводится отрицательная обратная связь( выход через резистивный делитель подается на инвертированный вход и схема фактически просто умножает напряжение U1 с неинвертированного входа на (1 + R1/R2 выдавая результат на Uout.

Вот тут можно почитать поподробнее. http://easyelectronics.ru/operacionnyj-usilitel.html
Но я хочу разобраться вот в чем - с точки зрения элементарной школьной математики эта схема будет работать также, если поменять местами инвертированный и неинвертированный входы, в обоих случаях U out = 2*U1(я для упрощения взял (1 + R1/R2) равным 2). Но на практике схема с положительной обратной связью сваливается в минус и всё.
Отрицательная обратная связь(это работает в реальности):

Положительная обратная связь(это НЕ работает в реальности):

Понятно, что дело в том, что в жизни нас окружают всякие наводки и помехи, которые постоянно немножко меняют значение Uout, которое затем чуть меняет U2, из-за чего меняется Uout ... и так далее. Численно я в голове это все могу промоделировать, и действительно увидеть, что при ПОС Uout стремительно сваливается в минус, получается в случае ООС решение устойчиво, а в случае ПОС оно неустойчиво.
Вопрос, как это строго описывается математически, как можно увидеть какую-нибудь перевернутую параболу, на верхушке которой еле-еле балансирует неустойчивое решение?)

natastream

стационарное состояние x0 (F(x0) = 0) дифференциального уравнения вида dx/dt = F(x) является устойчивым (по Ляпунову) если dF(x)/dx|x=x0 < 0.
В линейном приближении dUout/dt = k * (U1 - U2 )
В случае ООС: U1=const U2 = Uout * R2 / (R1+R2 производная правой части отрицательна: - k * R2 / (R1+R2)
В случае ПОС - наоброт

natastream

вообще, у операционного усилителя охваченного ООС простая математика - приравнял U1=U2 и вперед

Solefald

вообще, у операционного усилителя охваченного ООС простая математика - приравнял U1=U2 и вперед
да, но мне захотелось разобраться, как из системы уравнений, описываюших ОУ с ООС, выводится равенство U1=U2, и я увидел, что для ПОС вообще-то оно тоже выводится, тогда мне стало интересно, как же математически строго описать, почему при этом ООС работает, а ПОС сваливается в минус.

natastream

но мне захотелось разобраться, как из системы уравнений, описываюших ОУ с ООС, выводится равенство U1=U2, и я увидел, что для ПОС вообще-то оно тоже выводится
И как ты вывел U1=U2?
Это равенство является приближением, удобным для расчета схем с ОУ, охваченных ООС.
Собственно равенство должно выводиться из анализа дифференциального уравнения, описывающего ОУ с ООС. U1=U2 является следствием наличия устойчивого квази-стационарного состояния в этой системе.

Solefald

ПОС:
Uout = k*(U2 - U1 k->inf
U2 - U1 = Uout/k
U2 - U1 -> 0
U2 -> U1
OOC:
Uout = k*(U1 - U2 k->inf
U1 - U2 = Uout/k
U1 - U2 -> 0
U1 -> U2

natastream

Uout = k*(U2 - U1 k->inf
U2 - U1 = Uout/k
U2 - U1 -> 0
а может Uout->inf? ;)

Solefald

Что-то Хоровиц&Хилл огорчает. Выход операционного усилителя не может никуда стремиться, он просто работает по закону Uout = 1000000*(U1 - U2 а такое стремление - это характеристика схемы, а не ОУ. Так и писали бы блин "Если вы колхозник, который не хочет думать, вот вам правило для многих схем на ОУ"

Solefald

а может Uout->inf?
это следствие того, что k->inf, по определению ОУ, и да, Uout вдобавок ограничено питанием сверху и снизу

natastream

я намекаю на то, что твои уравнения не описывают ОУ с ООС/ПОС математически строго. В частности само понятие ООС/ПОС имеет смысл применительно к _динамическим_ системам, тогда как в твоих уравнениях время отсутствует. Чего же ты от этих уравнений хочешь? Это просто формула для "колхозников". Смысл ее в том, что при наличии ООС и достаточно высоком быстродействии ОУ изменение напряжения на одном из его входов приведет к изменению напряжения на его выходе, такому что напряжения на входах сравняются. Математически это описывается дифференциальным уравнением, в котором имеется устойчивое стационарное состояние. Данное стационарное состояние характеризуется тем, что U1=U2. Вот на что я намекаю как бы.

Solefald

А, понял теперь.
Да, с высшей математикой у меня всё очень и очень плохо :)
 
я намекаю на то, что твои уравнения не описывают ОУ с ООС/ПОС математически строго. В частности само понятие ООС/ПОС имеет смысл применительно к _динамическим_ системам, тогда как в твоих уравнениях время отсутствует.

Ну я решал исходя из предположения, что в схеме всё устаканилось, и вокруг сферический вакуум, увидел, что такое предположение не объясняет реальное поведение схемы, и задал вопрос на форуме, как описать обратную связь математически, вот и всё) Тебе большое спасибо.

natastream

Ну я решал исходя из предположения, что в схеме всё устаканилось, и вокруг сферический вакуум, увидел, что такое предположение не объясняет реальное поведение схемы, и задал вопрос на форуме, как описать обратную связь математически
Конкретно на этот вопрос (почему при ПОС все уходит в зашкал) отвечает анализ устойчивости стационарного состояния по Ляпунову (во втором посте). Кстати я там был неправ, щас поправлю.^W и так сойдет )

tester1

Это общефизический феномен.
При оос возможны устойчтвые состояния и колебания около них, примеры - маятник, грузик на пружинке. Чем дальше от состояния равновесия - тем больше сьремящаяся вернуть в него сила.
При пос чем дальше от равнлвеся - тем больше от него отталкивает, в итоге всё улетает так далеко, как может.

natastream

Это верное, но в данном случае бесполезное утверждение.
ТС интересует как математически вывести U1=U2 для ОУ с ООС.

Sergey79

Вопрос, как это строго описывается математически, как можно увидеть какую-нибудь перевернутую параболу, на верхушке которой еле-еле балансирует неустойчивое решение?)
Элементарно, Ватсон.
Дейсвтие ОУ можно считать так:
dU_out=k(U_1-U_2)dt
То есть за малое время она увеличивает выходное напряжение пропорционально разности потенциалов на входе. Теперь у нас U_1=const, U_2=U_out/2. Это динамическая система уже с переменной U_out.
Уравнение движения:
dU_out/dt=F(U_out где "сила" F(U_out) равна:
- для ООС: F(U_out)=k(U_1-U_out/2).
- для ПОС: F(U_out)=k(U_out/2-U_1)=-k(U_1-U_out/2).
Интегрируем силу по переменной (по U_out) и получаем потенциал (в математическом смысле а не а смысле напряжение): F(U_out)=-dФ/dU_out. Это будет
ООС: Ф(U_out)=k(U_out/2-U_1)^2 + константа
ПОС: Ф(U_out)=-k(U_out/2-U_1)^2 + константа
Вот она, та самая парабола.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: