Непрерывные деформации

blackout

Пусть в R^3 есть две несамопересекающихся сферы, которые друг с другом пересекаются трансверсально и вообще хорошо. Тогда внутри первой сферы есть точка О, которая лежит вне второй сферы.
Вопрос: Можно ли непрерывными деформациями добиться того, чтобы первая сфера стала стандартно вложенной и точка О стала ее центром? Казалось бы можно.

shpanenoc

может, я плохо знаю топологию, но мне непонятно, что такое "несамопересекающаяся сфера". Точнее, это-то понятно, но вот пример самопересекающейся сферы как-то на ум нейдет.
P.S. Другие термины мне тоже незнакомы, но я хотя бы могу найти их определения :)

BSCurt

Вопрос, а зачем в постановке задачи вторая сфера?
Должно быть верно, но я что-то застрял с доказательством. В общем из гомолитической теории это следует, но загвоздка в том, что-то я не знаю как доказать, что такая сфера безсамопересечений может задавать только единичный класс в гомологиях R^3\0 (ну это условие можно заменить и на какое другое эквивалентное)
Картинка по ссылке как бы символизирует, что в случае когда нельзя деформировать есть самопересечения
http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_groups_of_spheres#.CF....

blackout

Несамопересекающаяся это вложение сферы, самопересекающаяся - погружение, если я правильно помню.

blackout

Важно, чтобы в ходе деформации пересечение сфер не изменилось. То есть если в начале они пересекались по N замкнутым кривым, то в конце тоже должны пересекаться по N образам этих кривых (то есть, в частности, ни одна из этих кривых не должна стянуться в точку).

BSCurt

Ну т.е. исходные условия задачи не правильные.

blackout

Как хочешь. Еще на это можно посмотреть как на две разные задачи.

BSCurt

То есть если в начале они пересекались по N замкнутым кривым, то в конце тоже должны пересекаться по N образам этих кривых (то есть, в частности, ни одна из этих кривых не должна стянуться в точку).
В такой постановке ничего не выйдет, Пример: берем в качестве второй сферы обычную сферу в R^3 тогда стандартная сфера с центром в O если и будет пререкаться со второй сферой по кривой то только по одной окружности.

blackout

Это если мы деформируем только первую сферу, а если все пространство?

BSCurt

Интуиция говорит, что наверное верно, как доказать не имею никакого представления.

blackout

Ясно, спасибо, мне интуиция то же говорит. Еще похоже оказалось, что этот факт мне не нужен.

vodnik2

А уточни формальнее, насколько "хорошо" у тебя сферы вложены. Для непрерывного вложения даже одной двумерной сферы в трехмерное пространство нет аналога теоремы Жордана, о том, что замкнутая несамопересекающаяся кривая (вложение сферы) делит плоскость (пространство) на две части: одна часть гомеоморфна открытому кругу (шару а другая - дополнению круга (шара). Есть контрпример "рогатая сфера Александера" (хотя там и не гладкое вложение).

blackout

Да, мне про этот пример уже рассказали. Как я понял то, что нужно, есть в гладком случае.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: