задача на меру множества 2

kirillba

задача:
пусть число нормально, если для любого е существует N_0, что для любого N>N_0 среди цифр от N до N(1+e) есть две разных.
(цифры в десятичной записи после запятой)
доказать, что нормальные числа на [0,1] имеют меру 1.

kirillba

мысли на тему:
число не-нормально, если существует е, что для любого N_0 существует N>N_0, что среди цифр от N до N(1+e) все одинаковые.
т.е. не с некоторого N все цифры одинаковы, а существует подпоследовательность N, для которых цифры от N до N(1+e) одинаковые.
пример не-нормального и иррационального числа:
0,10100010000001..
кол-во нулей после единицы равно кол-ву предыдущих цифр. е=1.

seregaohota

Заметим, что для ненормального числа по его e>0 можно взять e_k = 1/k < e с такими же свойствами. Но набор таких e_k будет счётен (различны для разных ненормальных чисел). Можно их взять не 1/k, а степенями 10^{-k} скажем, непринципиально.
Если твоё утверждение верно, то ненормальные числа имеют меру 0. Тогда для конкретного e_k все ненормальные числа с таким e тоже имеют меру 0. Ну докажи (или опровергни) для начала при e_k = 1. Скажем для начала доказать равенство нулю меры множества чисел, у которых существует последовательность (у каждого своя) N_i что цифры от N_i до 2*N_i все равны 0. Ну или опровергнуть.

tomxays

про разложение на счетное кол-во е=1/к я сделал. но дальше что-то не продвинулся

uri45

del

iri3955

Рассмотрим ненормальные числа с e = 1/k (множество V_k)
Для каждого из них существует бесконечная последовательность n_i, такая, что между n_i и n_i(1 + 1/k) все цифры одинаковы.
Возьмём большое N.
Для любого n > N
P(n) - подмножество V_k, для которого какое-то n_i = n.
|P(n)| = 10^{1 - [n/k]} (зависит от включения границ в условии про N_i и N_i(1 + e но не суть, так проще)
|P(n)| <= 10^{-n/k} = a^{-n}, где a = 10^{1/k} > 1.
Но объединение по всем n > N P(n) даёт V_k, значит
[math]$|V_k| \le \sum_{t = N}^\infty|P(t)| \le a^{-N}/(1-a) \to 0\textrm{ при } N\to\infty$[/math]
значит |V_k| = 0.
А дальше как сказал
upd
Ой, ошибся
|P(n)| <= 10^{-n/k} - это не верно, надо так:
|P(n)| <= 10^{2-n/k}
Но это почти ничего не меняет.

tomxays

во! спасиб!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: