Помогите!!! функан!!! Пожалуйста!!!

O-L-A

Пусть в метрическом пространстве (X, р) множество А вложено в замыкание множества В, где В - счетно. Доказать, что метрическое пространство (А, р) сепарабельно.
2. Доказать, что в гильбертовом пр-ве для любого множества М имеет место равенство ортогональное дополнение ортогонального дополнения М равно замыканию линейной оболочки М.
3. Пусть М - такое множество в полном метрическом пр-ве Х, что любая вещественнозначная непрерывная на М функция равномерно непрерывна. Доказать, что М - компакт.
4. Образует ли множество непрерывных периодических функции с периодом 1 замкнутое подпространство в пространстве ВС(Rпр-во непрерывных ограниченных на R ф-ций с нормой ||x||=sup|x(t)|)?

3deus

 
1. Пусть в метрическом пространстве (X, р) множество А вложено в замыкание множества В, где В - счетно. Доказать, что метрическое пространство (А, р) сепарабельно.

Во-первых докажем, что счетное множество B всюду плотно в A. Но это очевидно следует из определения замыкания множества в метрическом пространстве.
Теперь каждый элемент из B аппроксимируем последовательностью элементов из A.
Если эл-т из В так не аппроксимируется — он нам не нужен. Теперь объединяем это счетное число счетных множеств (последовательностей). Получаем счетное всюду плотное в А множество.
 

O-L-A

а можно чуть подробнее? пожалуйста

kroton45

Для каждой пары (b,q где b\in B, q>0 - рациональное, возьми любую точку шара U_q(b принадлежащую A, если хоть одна такая есть.
А проверить, что такое множество не более, чем счетное и всюду плотно в A - не самое сложное упражнение.
Действительно, пусть дан шар U_r(a где a\in A. Тогда есть точка b\in U_{r/3}(a). Возьмем рациональное q: r/3<q<2r/3. Тогда в U_q(b) мы выбрали точку a'\in A, ибо точка a как минимум там есть. А точка a'\in U_r(a). Итак, мы показали, что в любом шаре есть выбранная точка. А это значит, что множество отмеченных точек всюду плотно.

kroton45

B не есть подмножество A. Это неприятность.

3deus

B не есть подмножество A. Это неприятность.
Каждый элемент из B аппроксимируем последовательностью элементов из A.
Если эл-т из В так не аппроксимируется — он нам не нужен. Теперь объединяем это счетное число счетных множеств (последовательностей). Получаем счетное всюду плотное в А множество.

3deus

а можно чуть подробнее? пожалуйста
Вам понятно решение ?
Первый шаг следует из определения замыкания
Второй шаг — аппроксимируем сходящимися последовательностями

3deus

3. Пусть М - такое множество в полном метрическом пр-ве Х, что любая вещественнозначная непрерывная на М функция равномерно непрерывна. Доказать, что М - компакт.
Идея решения:
Предположим, что M — не компакт. Тогда найдется последовательность точек из M, из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность => её точки можно окружить попарно непересекающимися замкнутыми шарами (пересечениями шаров с М) так, чтобы их объединение было замкнутым. Используя эту счетную систему замкнутых шаров, строим непрерывную, но не равномерно непрерывную на M функцию с помощью непрерывного продолжения с дизъюнктивного объединения шаров некоторой непрерывной, но не равномерно непрерывной на нем функции (её легко придумать — метрику умножайте на свой для каждого шара скаляр).

3deus

2. Доказать, что в гильбертовом пр-ве для любого множества М имеет место равенство ортогональное дополнение ортогонального дополнения М равно замыканию линейной оболочки М.
Ортогональное дополнение к М является замкнутым линейным подпространством и совпадает с ортогональным дополнением к замыканию линейной оболочки М (в силу линейности и непрерывности скалярного произведения).
Поэтому без ограничения общности можно считать, что М — замкнутое линейное подпространство.
Теперь берем согласованный с М гильбертов базис и все доказано.
 

O-L-A

да, понял! спасибо огромное!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: