Задачка из курса алгебры

tatani69

Имеется оператор А=
0 0 0 0 .. 0 1
* 0 0 0 .. 0 0
0 * 0 0 .. 0 0
...................
0 0 0 0 .. * 0
где вместо звёздочек стоят 1 или -1
Вопрос: как связаны собственные значения A с собственными значениями A^1,A^2,...,A^n?
В частности, если 1-собственное значение A^k, какие ещё степени оператора А будут иметь 1 в качестве собственного значения?

aqvamen

>как связаны собственные значения A с собственными значениями A^1,A^2,...,A^n?
походу так и связаны: A->A^n, l->l^n

tatani69

Походу там более сложные связи. Меня волнует скорее второй вопрос, о том как часто встречается 1 среди собств. значений А^k.

tatani69

И что такое I->I^n?

aqvamen

давай тогда пример c "более сложными связями"

aqvamen

степень.

tatani69

Да, понятно, что у А и А^n собств. значения совпадают.Я не совсем правильно поставил вопрос. Меня скорее интересует когда появляется то или другое с.з. матрицы А среди с.з. матриц A^2,...,A^n.

aqvamen

Если тебе именно про 1, то она присутствует всегда

tatani69

К сожалению, не всегда.
Например
0 1
-1 0
собственные значения +i,-i.

aqvamen

rodina60

Оператор А действует на векторы базиса следующим образом:
e_1 -> a_12 * e_2
e_2 -> a_23 * e_3
.....
e_(n-1)->a_(n-1)n * e_n
e_n-> a_n1 * e_1 = e_1
Все к-ты а либо 1, либо -1
Пусть n=s*n1
k=s*k1, где s = НОД(n,k); (n_1,k_1)=1
перь глянем на оператор A^k
он действует так:
e_1 -> a_12*a_23*...*a_(k-1)k * e_k
e_2 -> a_23*a_34*...*a_k(k+1)*e_(k+1)
....
Индексы считаем цикличными с периодом n,
т. е. a_i(i+1) = a_(i+ni+1+n)
Значит, если имеется собственный вектор
x_1*e_1+...+x_n*e_n соответствующий
собственному числу t,
то для его компонент получаем серию равенств:
x_1 * a_12*a_23*...*a_(k-1)k = t * x_k
x_2 * a_23*.............*a_k(k+1)= t * x_(k+1)
.....
Все к-ты а либо 1, либо -1, т.е.
x_1 = t * a_12*a_23*...*a_(k-1)k*x_k
x_2 = t * a_23*a_34*...*a_k(k+1)*x_(k+1)
....
Возьмем первое равенство и выразим x_k через x_(k+k)
x_1 = t^2 * a_12*a_23*....*a_(2k-12k)*x_(2k)
Затем выражаем x_(2k) через x_(3k) и т.д
Через n_1 таких итераций получим
x_1 = t^(n_1) * (произведение всех a_i(i+1) ) ^(k_1) * x_1
или
x_1 * (Па_i(i+1 ^ (k_1) = t^(n_1) * x_1
Аналогичное равенство получим и на остальные компоненты x_2, ...
Если сможем найдти t, такое, что
(Па)^(k_1) = t ^ (n_1) (*)
то от произвольно задаем первые s
компонент вектора, затем при помощи указанной цепочки
равенств выражаем через них остальные компоненты.
П-во собстенных векторов, таким образом, s - мерно.
Если t=1, то
если k_1 нечетно, то Па = 1 и уравнение (*) всегда имеет решение t=1,
при каком угодно k
если k_1 четно, то ничего сказать нельзя. Только глядя
на (Па)^(k_1) можно сказать. Если оно 1, то есть, если -1, то нет.
Вот такие пироги.

tatani69

спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: