Справедлива ли такая замена?

maldeln

Пусть w - циклическая координата [-Pi, Pi)
Можно ли при интегрировании по всему циклу не менять пределы при переходе:
Int[f(w-a {w, -Pi, Pi}] ---> Int[f(w-a {w-a, -Pi-a, Pi-a}] ---> Int[f(w-a {w-a, -Pi, Pi}],
где a — постоянная величина.
Здравый смысл подсказывает, что по большому счёту всё равно, от какой именно точки интегрировать цикл, а вот с теорией беда.
Так можно ли при такой замене переменных не менять пределы?

a7137928

Можно.

stm7543347

Открой уже для себя тег '[math]', или как он там называется...
Нарисуй два периода функции, отметь на оси абсцисс точки -a + n*Pi, проведи через них вертикальные прямые и посмотри, что получилось.

maldeln

Соображения здравого смысла наподобие графика с точечками я уже упоминала. А как быть с точным доказательством?
Тэг [math] — это нетривиально...

a7137928

Что именно тебя смущает в "соображениях здравого смысла"?
Нарисуй, действительно, график с двумя периодами. Что там может быть непонятного?
Конечно, можно и формально. Делаешь замену переменной в интеграле. Если надо, то разбиваешь интеграл на две части, делаешь замену в каждой, склеиваешь назад. Только такое доказательство не особо лучше, чем просто посмотреть на график и применить здравый смысл.

stm7543347

Точное доказательство такое: "Зри".
Ну или, если хотите, "интеграл по участку будет такой же, как и по участку через два пи; у нас тут интеграл по двойному периоду состоит из интегралов по нескольким участкам, получающимся друг из друга изометрией прямой и т. д."

seregaohota

считай что функция определена на окружности и интегрируешь по единичной окружности. Тогда с какой точки ты её начнешь обходить - без разницы.
Лишь вернёшься, сделав круг...

vovatroff

А что про вашу функцию f известно? Она сама-то 2*pi-периодическая или нет?
Это ниоткуда не следует пока что, хотя в ответе "нет, не зависит" это неявно
предполагается.
Если да, то для доказательства разложите ее в ряд Фурье и почленно его проинтегрируйте
по любому промежутку длины 2*pi.

seregaohota

Ага, что то x от минус пи до пи, и x от 0 до 2 пи разные ответы даёт :confused: :cool:

leniy1401

[math]$\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \int\limits_{\pi - a}^{\pi} + \int\limits_{-\pi - a}^{\pi - a} + \int\limits_{-\pi}^{-\pi - a} = \int\limits_{-\pi - a}^{\pi - a} + \int\limits_{\pi - a}^{\pi} - \int\limits_{-\pi - a}^{-\pi} = $[/math][math]$\int\limits_{-\pi - a}^{\pi - a} f(x)dx + \int\limits_{\pi - a}^{\pi} f(x)dx - \int\limits_{\pi - a}^{\pi} f(x + 2\pi)dx$[/math]
[math]$f(x + 2\pi) \equiv f(x) \quad \Rightarrow \quad \int\limits_{\pi - a}^{\pi} f(x + 2\pi)dx = \int\limits_{\pi - a}^{\pi} f(x)dx$[/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: