Скалярное произведение в цилиндрических координатах

araukaria777

сабж :confused:

mtk79

[math]$a\cdot b=g_{MN}a^M b^N$[/math]
[math]$g_{MN}=g'_{KL}\frac{\partial x'^K}{\partial x^M} \frac{\partial x'^L}{\partial x^N}$[/math]

araukaria777

почему спрашиваю.
мне интересно как записывается конвективная производная в цилиндрических координатах [math]\[(v,\triangledown)\][/math]

lenmas

Попробуй сначала запиши компоненты векторов в цилиндрических координатах. Причем подозреваю, что у тебя все в физических координатах, а не тех, что выше написал глупый конец.

araukaria777

вроде должно быть так [math]\[(v,\nabla)=v_{r}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{v_{\varphi}}{r}\frac{\partial}{\partial \varphi }+v_{z}\frac{\partial}{\partial z}\]  [/math]

lenmas

вроде должно быть так
Очень похоже.

mtk79

Вы спрашиваете ск. пр-е векторов, при этом в качестве приложения интересуетесь наблой, которая есть не вектор, а ковектор.

Sergey79

там же написано "скалярное произведение, сабж :confused: " а не "скалярное произведение векторов :confused: "

lenmas

Вы спрашиваете ск. пр-е векторов, при этом в качестве приложения интересуетесь наблой, которая есть не вектор, а ковектор.
Тебе череп не жмет? Ну все понимают, что набла — это ковектор. Но градиент — это вектор, только переведенный из ковектора в вектор.

mtk79

Да, Вы правы. Я прочитал невнимательно, бо спешил на электричу. Подвел товарища. Скалярное произведение может быть чего угодно, хоть банок с тихоокеанской сельдью пряного посола.
А что же теперь делать?

araukaria777

мне вот что интересно если набла в цилиндрических координатах имеет вид
[math]\[\nabla= ( \frac{\partial}{\partial r}; \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \varphi }; \frac{\partial}{\partial z} ) \]  [/math]
то почему тогда дивергенция которая явялется скалярным произведением имеет такой вид
[math]\[ \operatorname{div} v = ( \nabla , v ) = \frac{1}{r} \frac{\partial (r v_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_\varphi}{\partial \varphi} +\frac{\partial v_z}{\partial z}  \][/math]

Sergey79

потому что набла не вектор

stm7543347

В школах надо запретить евклидовы координаты, чтоб не развращать юные умы.

lenmas

то почему тогда дивергенция которая явялется скалярным произведением имеет такой вид
Если не ошибаюсь, то формула для дивергенции выглядит
[math]  $$  \textrm{div} v=\frac1{\sqrt g}\frac{\partial}{\partial x^i}\Bigl(\sqrt gv^i\Bigr  $$  [/math]
где v^i — обычные (не физические) координаты вектора v. У тебя g=r^2, компоненты v=v_r e_r+v_phi e_phi+v_z e_z,
причем так как нефизический вектор e_phi имеет на самом деле длину r, то нормальные (нефизические) компоненты
вектора v будут (v_r,v_phi/r,v_z). Откуда по формуле выше и получается
[math]  $$  \textrm{div} v=\frac1r\Bigl[\frac{\partial(rv_r)}{\partial r}+\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}+\frac{\partial(rv_z)}{\partial z}\Bigr],  $$  [/math]
то-есть твоя формула.
С градиентом тебе правильно выше сказали, что компоненты ковектора градиента будут просто частные производные в обычных (нефизических) компонентах, а если переходить к физическим компонентам, то
возникает как раз то деление на r, которое у тебя в формуле. То-есть тут нужно аккуратно с обычными формулами из обычных декартовых координат.

fabio

если ты пользуешь нетривиальную метрику что ты путаешь все время верхние и нижние индексы v^i v_ ?
опускай-поднимай правильно блеять - тогда и не надо фантазировать про нефизику

lenmas

если ты пользуешь нетривиальную метрику что ты путаешь все время верхние и нижние индексы v^i v_ ?
опускай-поднимай правильно блеять - тогда и не надо фантазировать про нефизику
Я ж физическими компонентами пользуюсь, поэтому настоящие направильномместе индексы только цифрами обозначаю. Как-то непонятно, зачем тебе у физических компонент индексы на правильных местах, ведь физические
компоненты не имеют тензорного смысла :)

Lene81

Что такое "физические компоненты" — объясни.

lenmas

Что такое "физические компоненты" — объясни.
Ну, когда берется обычный касательный базис (производные радиус-вектора по переменным и нормируется.
Это в физике и в механике так делают. Нормы этих базисных векторов называются коэффициентами Ламе.
Я так понимаю, такой способ применяется в ортогональных координатах.
Например, в полярных координатах, когда говорят, что радиальная и трансверсальная компоненты скорости равны
v_r и v_phi, то подразумевают, что это в ортогональном базисе, у которого e_r направлен как и радиус-вектор в эту точку, а e_phi — по касательной к окружности, проведенной с центром в начале и проходящей через точку, в которой
рассматривается скорость (e_phi — тоже единичной длины). Это в отличие от стандартного координатного базиса,
который состоит из E_r=\partial R/\partial r=(cos phi, sin phi) и E_phi=\partial R/\partial phi=(-r sin phi, r cos phi); здесь R — радиус-вектор точки.

Lene81

Эх, нифига не понял.

lenmas

Эх, нифига не понял.
Короче, физический базис — обычный базис как в дифгеме, только нормированный.

Sergey79

первый раз сталкиваюсь с таким понятием "физический базис", а он оказывается определяется через еще одно незнакомое мне понятие "обычный базис". Это как "обычное моющее средство"?

seregaohota

Чего там понимать-то
физические компоненты относятся к базисным векторам единичной длины (по-моему это даже в дифгеме называется неголономная система координат или что-то типа того)
в полярных координатах у тебя [math]$e_r$[/math] и так единичной длины, а вот [math]$e_\phi$[/math] длины [math]$r$[/math] (из-за этого при замене переменных от декартовых к полярным [math]$dy = r dr d\phi$[/math])
Поэтому если у вектора брать обычные координаты [math]$a = a^r e_r + a^{\phi} e_\phi$[/math], то для вектора в точке [math]$r=100$[/math], [math]$\phi=0$[/math] ([math]$x=100$[/math], [math]$y=0$[/math]) при [math]$a^r = 100$[/math] и [math]$a^\phi = 1$[/math] обе физические координаты будут по 100. (как и в декартовой системе координат [math]$xy$[/math])
У физических координат вектора и размерности одинаковые будут, что немаловажно в механике-физике

stm7543347

Ну вот дифференциальные уравнения, как известно из математики, бывают обыкновенные и необыкновенные. :umnik: :umn:

fabio

а как вы меряете длину кстате ?

seregaohota

так там же предполагается, что все от евклидова пространства - декартовой системы координат изначально пляшет с обычным скалярным произведением
и вектора нового (голономного) базиса получаются дифференцированием радиуса вектора по новым координатам, в полярной например
[math]$\begin{cases} x = r \cos\phi, \\ y = r \sin\phi, \end{cases} \quad \bold{r} = x e_x + y e_y = \begin{pmatrix}e_x e_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \cos\phi \\ r \sin\phi \end{pmatrix}$[/math]
[math]$e_r = \dfrac{d\bold{r}}{dr}=\begin{pmatrix}e_x e_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix}, \qquad e_\phi = \dfrac{d\bold{r}}{d\phi} = \begin{pmatrix}e_x e_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -r \sin\phi \\ r \cos\phi \end{pmatrix}$[/math]
соответственно [math]$|e_r| = 1, \quad |e_\phi| = r$[/math]
Вектора физического (неголономного) базиса
[math]$\tilde e_r = \dfrac{e_r}{|e_r|}=\begin{pmatrix}e_x e_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos\phi \\ \sin\phi \end{pmatrix}, \qquad \tilde e_\phi = \dfrac{e_\phi}{|e_\phi|} = \begin{pmatrix}e_x e_y\end{pmatrix}\begin{pmatrix} - \sin\phi \\  \cos\phi \end{pmatrix}$[/math]

Есть замечание, по-моему у Седова в МСС, что можно рассмотреть, например, плоско растянутую резиновую пленку, у которой в естественном состоянии исходный [math]$g_{ij} \ne \delta_{ij}$[/math], и которая в естественном соостоянии собирается в гармошку (уже неплоскую, выходя из исходного двумерного пространства). Ну что-то типа предварительно напряженного материала (например железобетона но я с таким не сталкивался по жизни
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: