Примеры на sigma алгебры

Marina32

Алгебры, кот. не явл. \sigma- алгеброй.
2. Неполной меры
3. Не \sigma - аддитивной меры
Кто знает - напишите, пжлст
Заранее благодарен

vit-makovey

) Алгебра всех конечных объединений подынтервалов отрезка [0..1]
2) Мера Бореля на отрезке [0..1]

Marina32

  Мера Бореля
это класс. мера Дебега?

Marina32

а попроще ничего не знаешь?

NHGKU2

Я не уверен, но что если взять такую меру на бореллевской сигма-алгебре: μ(А) = 1, если {0}\in A и μ(А) = 0, если {0}\not\in A? Вроде аддитивность тогда есть, а сигма-аддитивности нету.

elektronik

это класс. мера Дебега?
Это вы к чему?
Правильный ответ был дан.
Мера Бореля не является полной. Хотя меры Лебега и Жордана -- полные.

elektronik

μ(А) = 1, если {0}\in A и μ(А) = 0, если {0}\not\in A
Аддитивности не будет:
{0} \in A, {0} \in B
μ(A + B) = 1
μ(A) = 1
μ(B) = 1!

Marina32

Это вы к чему? 
я хотел узнать, как вводится мера Бореля

elektronik

Мера Бореля на [0,1] -- это просто сужение меры Лебега на этот отрезок.
Вобщем так. У нас есть борелевская σ-алгебра на R -- В.
Пересекаем каждый её элемент с отрезком [0, 1].
Тогда мера Бореля на полученной σ-алгебре просто совпадает с мерой Лебега.

NHGKU2

{0} \in A, {0} \in B
μ(A + B) = 1
μ(A) = 1
μ(B) = 1!
Сорри, не понял... μ(A) = 1, μ(В) = 0; μ(A|_|В) = 1, всё нормально (|_| - объединение непересекающихся множеств).

elektronik

Да, правильно!
Там только для дизъюнктных объединений.
Тогда почему не получается счётной аддитивности?

NHGKU2

Что-то я нагнал, похоже Будет, наверное, счётная аддитивность.

plugotarenko

Будет счетная аддитивность.
Такие меры называют мерами Дирака.

plugotarenko

Рассмотрим множество рациональных чисел на [0,1]. И построим следующее кольцо.
Пересечение рациональных чисел с конечным объединением получинтервалов, интервалов или отрезков на [0,1]. Мера такого множества - это сумма длин полуинтервалов, интервалов и отрезков. Такая мера, очевидно, аддитивна.
Но не сигма аддитивна. Множества из одной точки входят в кольцо и их мера 0. Мера же всех рациональных чисел на [0,1] - ' это единица.

Manechka

что такое аддитивная мера?
чем она отличается от сигма- аддитивной?

elektronik

Аддитивность -- это когда мера конечного объединения попарно непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств.
А σ-аддитивность (или счётная аддитивность) -- когда мера счётного (и конечного тоже) объединения попарно непересекающихся множеств равна сумме мер этих множеств.

Manechka

спасибо!

Manechka

 2) Мера Бореля на отрезке [0..1] 
как построить нможество меры ноль так, чтобы его под-во было неизмеримо(ведь такое определение неполноты)?

plugotarenko

Такое подмножество содержится в любом несчетном борелевском множестве меры 0.
Известный факт (доказательство не помню) - Борелевская сигма-алгебра на [0,1] имеет мощность континуум. Множество всех подмножеств континуального множества имеет мощность строго больше, чем континуум.

elektronik

Очень просто. Но нужно внимательно прочитать.
Обозначения.
P -- множество Кантора
G -- дополнение P до отрезка [0, 1]
φ(x) -- канторова лестница
Рассмотрим функцию ψ(x) = (φ(x) + x) / 2. ψ: [0, 1] → [0, 1].
Эта функция является непрерывной и строго монотонно возрастает, значит, существует обратная функция f(x) = ψ^{-1} (x). В силу непрерывности, ψ(x а, значит, и f(x) измерима относительно меры Бореля.
Заметим, что мера образа любого интервала множества G при действии ψ в два раза меньше самого интервала, следовательно, μ(ψ(G = μ(G) / 2 = 1 / 2. Тогда μ(ψ(P = 1 - μ(G) / 2 = 1 / 2.
Тогда существует Q -- подмножество ψ(P -- которое неизмеримо относительно классической меры Лебега. E = ψ^{-1} (Q) -- подмножество P, μ(P) = 0. В силу полноты меры Лебега μ(E) = 0.
Таким образом, построили непрерывную f(x что f^{-1} (E) = Q, μ(E) = 0, Q неизмеримо.

Manechka

В силу непрерывности, ψ(x а, значит, и f(x) измерима относительно меры Бореля.
Получается, что мы рассматриваем меру Лебега на отрезке [0;1]. Если- нет, чем она отличается от меры Бореля?

elektronik

Классическая мера Лебега определяется на прямой (в R^n).
Мера Бореля на [0,1] -- это просто сужение меры Лебега на этот отрезок.

Sanych

Не просто на отрезке. А на \sigma-алгебре борелевских множеств для отрезка. Именно из-за этого и образуется неполнота - что алгебра измеримых по Лебегу подмножеств отрезка больше, чем борелевская.
. Между прочим, несколькими постами выше об этом чётко написано
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: