Исследовать на сходимость интеграл

shale60

Попалась задачка, наверняка элементарно решаемая классическим способом:
Исследовать на сходимость интеграл:

В общем, мне даже не особо интересно, как задча решается по-нормальному (хотя тоже интересно в процессе возникла более интересная задача.
  Доказать, что в последовательности { {sin n} } (внутренняя {} - дробная часть) заведомо найдется сколь угодно малый элемент
Абсолютно очевидно, но вот строгое доказательство в голову не лезет.
Ну дальше легко понять, как применить всё это - задача о сходимости такого интервала эквив. задаче о сходимости ряда, для любого номера N будет существовать некое M>N, для которого будет существовать хотя бы один элемент, больший наперед заданного eps. Но это так, на всякий случай.

tester1

построй подходящие дроби для Пи, на их основе накрутишь что нужно, используя периодичность синуса :) http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%E5%EF%F0%E5%F0%FB%E2%ED%E0...

olga-sklyarova

Задача очевидна вот почему. Рассмотрим точки на окружности вида (cos k, sin k где k пробегает от 1 до n. По принципу Дирихле расстояние между какими-то двумя по окружности не более чем 2pi/n. Пусть эти точки отвечают значениям n_1 и n_2. Тогда получается, что расстояние между точкой (1, 0) и точкой (cos (n_1-n_2 sin (n_1 - n_2 тоже не более 2pi/n, а значит, |sin (n_1 - n_2)| < 2pi / n. Увеличивая n, получаем нужную подпоследовательность sin n, стремящуюся к 0.
Вообще множество значений sin n всюду плотно на [-1, 1].

sashok01

По твоей же ссылке
Теорема Лагранжа: Число представляется в виде бесконечной периодической цепной дроби тогда и только тогда, когда оно является иррациональным решением квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

У числа пи простой закономерности не видно

olga-sklyarova

Интеграл в любом случае расходится в точках типа pi*k.
Между прочим, вопрос о том, сходится ли ряд 1/(n^3 sin^2 n) всё ещё не решён. Для меня это было неким шоком: в классическом матанализе ещё есть настолько простые по формулировке нерешённые задачи.

tester1

Так то теорема про периодические дроби, у пи она непериодическая.
Подходящие дроби всё равно построить можно (они существуют для любого числа и они обладают хорошей приближающей способностью. Я как-то делал это упражнение.

olga-sklyarova

Совершенно непонятно, какое сюда имеет отношение разложение пи в цепную дробь. Оно, конечно, интересное (хоть про него почти ничего неизвестно): там много единиц, есть теорема Кузьмина про частоты встречаемости цифр и т.п... Но здесь-то что от этого разложения нужно?

bars70

а разве исходный интеграл не расходится на отрезке [3/2 пи, 5/2 пи] ?
вроде только одна особенности х=2пи
причем сходимость интеграла на отрезке означает независимую сходимость на полуинтервалах [3/2 пи, 2пи) и (2пи, 5/2 пи] (ведь ищется же не главное значение)
на полуинтервале (2пи, 5/2 пи] функция положительна, заменяем на эквивалентную ей
1/(x*(x-2пи
если сделать замену y=x-2пи, то это 1/(y+2пи)y > 1/100 * 1/y
интеграл от такой функции на (0, пи/2] расходится,
если расходится на отрезке [3/2 пи, 5/2 пи], то и на [1, бесконечность) тоже расходится
нигде не ошибся?

tester1

Совершенно непонятно, какое сюда имеет отношение разложение пи в цепную дробь.
а, не, кажется, надо цепную дробь для пи/2 брать
| pi/2 - p/q | < 1/q^2
если будет время - напишу подробнее

griz_a

Да, он в окрестности любого нуля синуса ведет себя как 1/x, т.ч., разумеется, расходится

griz_a

Да что вы пристали к Гонобобелю, Ваня дело говорит.
Берем цепную дробь p/q для пи, ее погрешность delta не больше 1/q^2.
Значит 0 = sin (\pi q) = \sin(p + delta q) = \sin p + sin p (cos(\delta q)-1) + cos p sin (\delta q).
Все кроме sin p в правой части здесь есть O(1/q). Так что действительно можно сколь угодно близко к нулю прижаться. Собственно, поскольку цепные дроби и слева и справа есть, то даже с любой стороны.

stm8853410

Дело-то дело, только
1) уровень подробности такой, что для нематематика только хуже делает
2) факт про подходящие дроби сложнее задачи.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: