что в L2 ограниченные функции класса С

Marina32

Док-ть, что в L2 ограниченные ф-ии класса С(-inf, inf) образуют полное и несепарабельное про-во с метрикой r(f,g)=sup|f-g|.
не очень понятно, как это сделать, ведь можно построить пос-ть непр. ф-й, которые в пределе дадут разрывную ф-ию...

Katty-e

В твоем примере супремум разности не будет стремиться к нолю.
Полнота доказывается прямо по определению - надо показать, что предельная ф. непрерывна. Берешь ее в двух разных точках, оцениваешь через сумму трех модулей - разности ее со значениями допредельных в данных двух точках и разности допредельной в двух точках. Первые два слагаемых стремятся к нолю, так как норма - то есть супремум разности - туда же, а третье оценивается эпсилон, потому что допредельные ф-и непрерывны.
Несепарабельность из Л2 как-то получалась, не помню.

Marina32

а что такое допредельные функции?
я что-то не очень понял

Vitaminka

функции из последовательности f_n

avgustinka

Несепарабельность из Л2 как-то получалась, не помню.

не понял... а разве у сепарабельных пространств бывают несепарабельные подпространства?

plugotarenko

Это не подпространство L^2, метрика другая.

avgustinka

В том то и дело... Я ведь говорю про C(R а подпространство у него C(R) \cap L_2(R)...

avgustinka

Да, кстати, неплохо бы ещё доказать, что предел будет в L_2 лежать.

Marina32

что такое cap L_2(R}?

Marina32

так он же будет лежать в С(R)?! судя по док-ву...

NHGKU2

\cap означает пересечение в общем, учи ТеХ

avgustinka

C(R) не является подмножеством L2(R надо чтоб интеграл ещё был конечен.
например f(x)=1 -- лежит в C, но не в L2.
PS \cap - значок пересечения множеств (в ТеХе)

Kristina84

а зачем доказывать, что предел функциональной последовательности лежит в L2?
нам же надо док-ть, что полно про-во ф-й на С(R). А предел этому про-ву принадлежит, разве нет?

Marina32

сорри, не залогинился

avgustinka

Ну не знаю... мне показалось, что рассматриваются функции из пересечения L2(R) и C(R и про них это нужно доказать.
А тогда, естественно, надо доказывать и принадлежность L2(R).

griz_a

Несепарабельность:
Пусть есть счетное всюду плотное.Строим f. Берем f1. f(1/2)=1, if f1(1/2)<0, -1 else. То же в 3/2 с f2 и т.д. На остатке достраиваем непрерывно. Полученная функция не содержит ни одну из всюду плотного в шаре радиуса 1/2....

sanosik

> мне показалось, что рассматриваются функции из пересечения L2(R) и C(R
> и про них это нужно доказать.
> А тогда, естественно, надо доказывать и принадлежность L2(R).
Тогда надо, действительно, но невозможно:
можно брать сумму непрервных функций с непересекающимися носителями,
графики-пеньки которых чем правее тем ниже(максимум стремить к нулю) но шире (чтобы интеграл от квадрата был >1 тогда конечные суммы все из нужного пересечения (благо финитны и непрерывны) и равномерно фундаментальны но не сходятся равномерно в L_2 так как сходятся равномерно к функции не из L_2

griz_a

У тебя задача странная. С2 не подпр-во Л2..... Если их надо пересечь, то так и скажи... Сепарабельность правда остается та же....
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: