Исследовать на сходимость числовой ряд

bvlady552

Что-то никак не получается исследовать на сходимость данный числовой ряд.
Известно, что данный ряд сходится, но как доказать пока неизвестно.
[math][res=200]  $$  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n^3}{n}  $$  [/math]

kachokslava

используйте math!
не надо постить картинки - они очень плохо выглядят

mtk79

нужно хотя бы начать исследовать на сходимость

mtk79

какого еще Дедекинда? такое не проходят на матане
ПС. И чем же ограничены частичные суммы sin(n^3) ?

ilin1

какого еще Дедекинда? такое не проходят на матане
ПС. И чем же ограничены частичные суммы sin(n^3) ?
А кого проходят?
Вроде, n-ом

mtk79

Вроде, n-ом
Я рыдаю!

ilin1

ну, для любого n |S_n|<n, но, видимо, требуется все-таки ограниченность посл-ти S_n

vtdom79

Еще можно попробовать замутить что-то типа леммы о расстановке скобок. Если удастся доказать, что существует такая последовательность [math] $n_k$ [/math], что:
[math]  \begin{equation*}  \begin{gathered}  \sin n^3 \,>=0 \,\forall \,1<=n<=n_0\\  \sin n^3 \,<=0 \,\forall \,n_0<=n<=n_1\\  \sin n^3 \,>=0 \,\forall \,n_1<=n<=n_2\\  \sin n^3 \,<=0 \,\forall \,n_2<=n<=n_3\\  ...\\  \sin n^3 \,>=0 \,\forall \,n_{2k-1}<=n<=n_{2k}\\  \sin n^3 \,<=0 \,\forall \,n_{2k}<=n<=n_{2k+1}\\  ...  \end{gathered}  \end{equation*}  [/math]
и т.д., причем [math]$max(n_{i}-n_{i-1} )$[/math] чем-то ограничена, то исходный ряд сведется к ряду [math]$\sum a_n b_n$[/math], где [math]$a_n$[/math] - ограничено и знакопеременно, а [math]$ b_n \to 0$[/math], а такой ряд сходится по признаку Лейбница (или Дирихле)

bvlady552

Она должна быть ограничена числом, а не чем-то зависящим от n.

mtk79

можно извращаться по-всякому. но если препод дает задание — то надеется на то, что решение будет в рамках той программы, что давалась на лекциях и семинарах. А на них даются простейшие признаки (не знаю, как на мехмате, но, судя по периодически поступающим от тредозаводителя простейшим задачам, к мехмату он имеет отношение отдаленное): Д'Аламбер, Дирихле и (главное!) интегральный. Может, еще Абеля-Харди

KaterinKa

Соответствующий интеграл сходится, конечно же.
А можно еще экспериментально сходимость проверить. :o


toxin

Это задачка из теории тригонометрических сумм. Но только я пока что-то не могу найти какие оценки там в теоремах получаются.

lenmas

Соответствующий интеграл сходится, конечно же.
Это очевидно, в отличие от аналогичного ряда.

seregaohota

Тут скорее всего дело в том, что остатки от деления [math]$n^3$[/math] на [math]$2\pi$[/math] т.е. числа [math]$n^3 \mod 2\pi$[/math] равномерно и всюду плотно распределены на окружности [math]$[ 0, \; 2\pi)$[/math].
А [math]$\frac1n$[/math] равномерно убывает стремясь к 0.
 
И чем же ограничены частичные суммы sin(n^3)
Может и не ограничены, может достаточно что частичные суммы ряда [math]$\sum\sin n^3$[/math] ведут себя типа броуновского блуждания с матожиданием 0.
Какая-то теорема в теории триг рядов должна быть.

lenmas

Тут скорее всего дело в том, что остатки от деления [math]$n^3$[/math] на [math]$2\pi$[/math] т.е. числа [math]$n^3 \mod 2\pi$[/math] равномерно и всюду плотно распределены на окружности [math]$[ 0, \; 2\pi)$[/math].
Этого мало.

lenmas

Кстати, вот решение твоей задачи
http://math.stackexchange.com/questions/2270/convergence-of-...

toxin

Ого, оказывается [math]$\pi$[/math] не может слишком хорошо приближаться рациональными числами. Не знал, что это уже доказано.

stm7543347

[math]$$\pi$$[/math] не может слишком хорошо приближаться рациональными числами.
Ч0ч0? :ooo:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: