помогите решить задачку со вступительных

assasin

Задачка такова:
В описанном 4-угольнике сумма двух противоположных углов равна 120 градусов, а произведение сторон равно 2028. Найти площадь 4-угольника.
В принципе, задачку я решил, но через неимоверную задницу, а судя по ответу (39, если нигде не наврал должно быть несложное красивое решение. Буду рад любой помощи.
Хотя ответ получить легко - достаточно рассмотреть случай ромба. Удивительно то, что ответ однозначный.

lenmas

В описанном или вписанном?
Сам уже понял, что у вписанного не может сумма противоположных углов быть 120 градусов

lenmas

Для ромба вроде получается другое число - типа корня из 2028 умножить на корень из трех, и еще пополам разделить
На самом деле это то же самое число Что-то я сегодня туплю, как и всегда, правда

zindpi

корень надо 4-й степени брать

zindpi

чушь сморозил, блин

lenmas

У меня какое-то решение есть, только не знаю насколько оно для абитуриентов выносимо.
Для площади четырехугольника есть формула S^2=(1/162ef-a^2-c^2+b^2+d^22ef+a^2+c^2-b^2-d^2) (e,f - диагонали, а a,b,c,d - последовательные стороны). Из условия описанности четыреугольника следует (из a+c=b+d что a^2+c^2-b^2-d^2=2(bd-ac). Подставляя в формулу для площади, получаем S^2=(1/4e^2f^2-b^2d^2-a^2c^2+2abcd). Осталось воспользоваться одной из теорем косинусов для четырехугольника о том, что e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos2\psi, где \psi - полусумма противоположных углов. Получается формула S^2=(1/2)abcd(1-\cos2\psi).
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: