Задача по дифференциальной геометрии

DANA1

Есть замкнутая регулярная выпуклая кривая(плоская) доказать, что существует не менее трех пар точек, что
1. любая пара разбивает кривую на две дуги равной длинны и
2. кривизна кривой в точках пары одинакова
также интересует факт как доказать, что замкнутая регулярная кривая(плоская) с положительной кривизной, то любая прямая
пересекает кривую не более чем в двух точках. Кажется очевидным, но доказать не получилось
Если есть мысли, как подобные задачи доказывать, напишите плз.

Kumar

для одной пары вроде .
пусть t in [0,1) параметр по кривой - её длина от отмеченной точки A.f(t) функция - кривизна .для непр функции на замкнутой кривой существует и мининмум и максимум.пусть А - т мин .В-т.макс.представим график кривой от А до В .сдвинем его на 1/2 .от противного:рисуем дальше график он не должен пересекать перенесенный .он его пересекает .противоречие.

bazis2008

Непонятно почему, если мы сдвинем на 1/2 график кривизны, то он не должен пересекаться со своим досдвижным вариантом, это теорема что ли такая?

Kumar

от противного :если пересекаются - то существуют 2 точки на расстоянии 1/2 с одинаковой кривизной.

DANA1

спс за идею... а прикинь, таких пар оказывается целых три, а не одна.
Какую-нить книгу можешь порекомендовать, где могут похожие задачи с указаниями/приемами решения.

Kumar

ещё одна пара если А-макс ,В-мин .книгу не знаю

DANA1

не понял, как получилась вторая пара, ведь что мы сдвинем на 1/2, что на - 1/2 получим одно и то же.
К тому же в рассуждениях ни где не используется выпуклость, а без нее три пары не найдутся %(

DANA1

Не могу доказать эту теорему:
Овал(плоская регулярная замкнутая кривая с кривизной k>0) имеет не менее 4х вершин(экстремумы кривизны).
Учебники дружно ссылаются на нее, но ни где не нашел доказательства, может я какую книгу пропустил?
Кроме того интересно доказательство факта, который тоже везде рассматривается как прописная истина.
Для любой точки овала существует еще одна точка на нем, такая что касательные в этих точках противоположно направлены.

yulial

Последнее утверждение, как мне кажется, должно быть доказано в книге Яглома и Болтянского "Выпуклые фигуры", Москва--Ленинград, 1951. Это утверждение об опорных прямых. Может быть, что-то такое есть в книге Бляшке "Круг и шар". Возможно -- в книге Бураго и Залгаллера "Введение в риманову геометрию".

yulial

Я, кажется, придумал вывод теоремы о вершинах из первого утв. в этой теме.
Отобразим овал периметра 2*пи на окр-сть (откладывая нат. параметр точки на овале на окр-сти). По утверждению найдутся три диаметра, на концах которых кривизна имеет равные знач. к1, к2, и к3. Эти диаметры делят окр-сть на 6 секторов. По теореме Ролля по обе стороны отн. каждого диаметра должна лежать критич. точка кривизны.
От противного. Пусть всего только две крит. точки -- макс. и мин. Если нарисовать окр-сть, видно, что они могут находиться лишь в противоположных секторах (т. к. иначе они окажутся обе по одну сторону отн. какого-то из диаметров).
На окружности есть два пути, ведущие из точки мин. в точку макс. кривизны. На одном пути кривизна последовательно проходит через значения к.мин.<к1<к3<к2<к.макс., на другом -- к.мин.<к2<к3<к1<к.макс., что невозможно.
Как доказать первое утв., пока не придумал. Кто-нибудь укажет на ошибку?

DANA1

В этом доказательстве можно опустить чатсть мат. рассуждений, осуществив простой перебор по всевозможным перестановкам k1>k2>k3,
напр, для случая расположения k2-k1-k3 , получим, что от k2 до k3 спрятался max, пусть k2>=max>=k1, тогда для всей кривой будем иметь
-k2-max-k1-k3-k2-max-k1-k3- раз 2 max, то и 2min и так по всем перестановкам.

yulial

Ну да. Ещё достаточно предположить, что найдутся лишь две (а не три) пары точек с равными кривизнами в каждой паре и делящие периметр овала пополам. Хотя, при этом предположении, может получиться и невыпуклая кривая.

DANA1

Нашел доказательство теоремы в Бляшко "Введение в дифгем", только там в определении овала фигурировало, что любая прямая пересекает овал только в двух точках (идея, что \int_L{(a0+a1*x1+a2*x2dk/ds)ds} = 0, пусть 1 мах и мин соединим их прямой получим, что интеграл не равен нулю, противоречие)...таким образом для д-ва исходной формулировки надо д-ть, что любая прямая пересекает замкнутую регулярную кривую с К>0 не более чем в дыух точках, вроде очевидный факт, но уже целый день не могу доказать %(...
а потом надо еще как-то исхитриться и д-ть первую задачу в этом топике %(

yulial

Да, понятно.
Может быть, автор -- Бляшке? А то Бляшко как-то неприлично звучит

DANA1

Да сори, описался. он ведь немец, а Бляшко это славянская фамилия.

DANA1

Лана поставим вопрос по ддругому, где на ММ кафедра дифгема?

pv81

кажется

Azorskij

точно на 16, там найдешь по табличке на двери(:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: