Задачи по математике

Iron18

)найти все a, при каждом из которых уравнение arccos(sin(x-a - a = arcsin(cos(x+a + a имеет хотя бы одно решение.
2)Сколько различ. пар натураль. чисел x<=y удовлетворяют уравнению 1/x + 1/y = 1/ 2004 ?
3)На стороне АС треу-ка АВС взята т. К, АК : КС = 1:2, а на отрезках ВК, ВС, КС соотв-нно - такие точки L, M, N , что LM II AB, LN II BC, MN II BK .
Чему равно отношение площадей треугольников LMN и ABC ?

stm25972421

1/6 там параллельные прямые явл. средними линиями.

Custodian

Задача 2:
Пусть d=(x, y).
Представим x = d*x0, y = d*y0, тогда (x0, y0) = 1.
Перепишем у-е 1/x+1/y = 1/2004 в виде xy=2004(x+y) или после подстановки:
d*d*x0 y0 = 2004(x0+y0)*d
Сокращаем все на d, и замечаем, что (x0+y0, x0) = 1, (x0+y0, y0) = 1, значит (x0+y0) | d. Поэтому можно d представить в виде:
d = k(x0+y0 а уравнение переписывается так: k*x0*y0 = 2004. Любое решение (k, x0, y0) порождает решение (x, y в обратную сторону тоже верно. Значит надо найти кол-во решений полученного уравнения. (x0, y0) = 1, x0 <= y0, а k - любое натуральное.
Далее раскладываем 2004 на множители 2004=2^2*3*167 и аккуратно перебираем.

aqvamen

) Два уточнения need:
а) там arccos или всё-таки обойдёмся Arccos?
б) дитё, это решающее, матаном пользоваться право имеет?

Iron18

производной пользоваться можно
а арккосинус , он и есть арккосинус(не понял твоего вопроса)

aqvamen

с маленькой - многозначная ф-ция, с большой - однозначная. Разница в решении и ответе весьма существенная.

Iron18

ну в 11 классе однозначная наверное
рюхни плиз задачку!

aqvamen

Ща напишу

aqvamen

-Pi/4 <= a <= 3Pi/4, поскольку 0 <= arccos <= Pi и -Pi/2 <= arcsin <= Pi/2 (дальше выясняем, что необходимое условие является и достаточным, то есть это - ответ)
2. f(x) := Arccos(sin(x-a - Arcsin(cos(x+a == 2 a
f'(x) = - sign(cos(a - x + sign(sin(a + x
график f(x) при а = 0:

при a!=0 вид тот же, промежутки, на которых константа, находим из cos(a-x)sin(a+x) > 0
3. При 0<=a<=Pi/2 х=0 принадл. пост. участку графика и явл. искомым решением
При остальных а та же фигня для х=Pi/4
Кстати, кроме крайних значений a, решений всегда беск. много

Iron18

спасибо
ещё две осталось
4) Найти все пары чисел k и b, для каждой из которых прямая y= kx + b пересекает график функции y=x^3 + x + 2 ровно в трёх точках, сумма ординат которых равна нулю.
6) Стоящую в углу кухни квадратную электроплитку (вид сверху) можно поворачивать по полу на произвольный угол вокруг любой из её четырёх ножек , расположенных в вершинах квадрата. Какое наименьшее кол-во таких поворотов нужно сделать, чтобы в итоге повернуть её на 90 нрадусов, поставив на прежнее место?

avgustinka

с маленькой - многозначная ф-ция, с большой - однозначная.

Вообще-то обычно как раз наоборот. Но это мелочи, конечно.

aqvamen

мб
старый я уже, всё забыл

Sinichenko

) Пусть kx+b - прямая, пересекающая y=x^3+x+2 в трех точках, так что ординаты этих трех точек в сумме дают 0. Обозначим эти точки x1, x2, x3. По условию, имеем: k(x1 + x2 + x3) + 3b = 0. Из условия также следует, что x1, x2, x3 - корни уравнения x^3 + x + 2 = kx + b, т.е. x^3 + (1-k)x + 2 - b = 0. Значит, их сумма равна 0 (как коэффициент при x^2). Таким образом, k*0 + 3b = 0 => b=0. Осталось выяснить, при каких k прямая y=kx пересекает y=x^3 + x + 2 в трех точках. Cмотрим на рисунок:

(что график выглядит именно так, можно легко убедиться: корень уравнения x^3 + x + 2 = 0 легко находится подбором: x=-1, производная 3x^2+1 всегда неотрицательна, x=0 - точка перегиба). Видим: прямая пересекается с кривой в одной точке при 0 <= k < k0 и k<0; пересекается в двух точках при k = k0 (когда имеет место касание, за k0 обозначили угловой коэффициент касательной) и в трех точках при k > k0. Осталось найти это число k0. Пусть x0 - точка касания, k0 = 3x0^2 +1. Уравнение касательной:
y - (x0^3 + x0 +2) = (3x0^2 + 1x - x0);
вспомним, что b=0, т.е. x0^3 + x0 +2 - 3x0^3 - x0 = 0, 2x0^3 - 2 =0 => x0 =1.
Таким образом, k0 = 3*1 +1 = 4.
Ответ: любая пара (k,0 где k>4.

stm7929259

Хули их решать, мне вот делать не хуя, а все равно впадлу пиздец!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: