Трансцендентные расширения полей. Изоморфны ли они R?

Lene81

Вопрос вообще-то праздный, я не специалист, просто освежал свою память по алгебраическим вопросам.
Вопрос следующий. Вот в анализе [math]$\mathbb{R}$[/math] определяется как пополнение [math]$\mathbb{Q}$[/math], например, присоединением всех пределов последовательностей Коши или бесконечными дробями. Это, так сказать, взгляд матанализа. С другой стороны, в алгебре есть конструкция, именуемая "расширениями полей", например, [math]$\mathbb{Q}$[/math] может быть пополнено иррациональным числом — корнем какого-нибудь многочлена с рациональными коэффициентами; так получаются алгебраическиое расширения. Далее, есть пополнения, которые порождаются трансцедентным числом, например [math]$\mathbb{Q}(\pi)$[/math], очевидно, при этом, что их структура это что-то вроде бесконечномерного векторного пространства с коэффициентами из [math]$\mathbb{Q}$[/math]. Мой вопрос такой, а собственно, можно ли утверждать, что [math]$\mathbb{Q}(\pi)\cong \mathbb{R}$[/math] или они различаются?

vsjshnikova

Во-первых, [math]$\mathbb{Q}(\pi)$[/math], а не [math]$\mathbb{Q}[\pi]$[/math].
По поводу вопроса: нет, эти поля неизоморфны. [math]$\mathbb{Q}(\pi)$[/math] --- чисто трансцендентное расширение, оно порождено элементом $\pi$, котоый не является корнем многочлена над [math]$\mathbb{Q}$[/math]. А в [math]$\mathbb{R}$[/math] находятся, например, хотя бы по корню всех многочленов нечетной степени.
Общая ситуация выглядит так: любое расширение может быть получено сначала добавлением некоторого мн-ва трансцендентных элементов (мощность этого множества называется степенью трансцендентности а потом алгебраических элементов (корней многочленов). [math]$\mathbb{R}$[/math] получается из [math]$\mathbb{Q}$[/math] сначала трансцендентным расширением степени [math]$2^{\aleph_0}$[/math], а потом добавлением всех необходимых корней.

toxin

[math]$\mathbb{Q}(\pi)$[/math] — счетно, а [math]$\mathbb{R}$[/math] — нет.

Lene81

Да, я пробовал использовать этот аргумент, но тут закавыка: почему трансцендентное расширение счетно? Как счетное объединение счетных множеств?

toxin

Ну да, это отношения полиномов от [math]$\pi$[/math]. У полиномов конечная степень, а коэффициенты — рациональные числа.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: