Знающие тервер, помогите!

svt_4969

Пусть {x_i} - последовательность независимых случайных величин, распределённых геометрически (в смысле p(x=k)=p(1-p)^(k+1 то есть подразумевается, что всегда есть одна неудача перед успехом).
Рассмотрим отрезок фиксированной длины n.
Пусть m(n)=max l: сумма l первых x_i меньше n, а сумма l+1 первых x_i - больше n.
Вопрос: как доказать, что n/m -> к матожиданию x_i почти наверно?
Помогите плз

plugotarenko

(\sum_i=1^n х_i )/n сходится к E x_i почти наверно. (Усиленный закон больших чисел).
Далее рассматриваем то множество меры 1, на котором эта сходимость всюду.
2. Что такое n/m это \sum_i=1^m х_i /m + остаток. остаток < x_{m+1}/m.
 Если n стремится к бесконечности, m(n) тоже стремится к бесконечности.
 \sum_i=1^m х_i /m --- это подпоследовательность из пункта один. Она сходится к среднему.
3. x_{m+1}/m стремится к нулю, когда m стремится к бесконечности.

svt_4969

Если n стремится к бесконечности, m(n) тоже стремится к бесконечности.  
\sum_i=1^m х_i /m --- это подпоследовательность из пункта один. Она сходится к среднему.

Вот это волнует больше всего, так как когда я рассматривал \sum_i=1^m х_i /m и применял к ней УЗБЧ мне научник сказал, что применение УЗБЧ, когда предел берётся по подпоследовательности случайных величин надо обосновать.
По сути, можно сразу взять предел по m в УЗБЧ, но этого делать почему-то нельзя.
И еще: разве стремление остатка к нулю будет не по вероятности?

plugotarenko

Ключевая фраза была:
Далее рассматриваем то множество меры 1, на котором эта сходимость всюду.
На этом множестве для каждого омега есть сходимость и любая подпоследовательность сойдется.
"разве стремление остатка к нулю будет не по вероятности"
Об этом сразу не подумал. Но для твоего распределения почти наверно. Примени Лемму Бореля-Кантелли.

svt_4969

О! Спасибо огромное!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: