Посчтитать сумму бесконечного ряда

alex17171717

член ряда такой [1/2^(2*k)]*(2*k-1) , k от 1 до бесконечности

Sergey79

Записываем
2^(-2k)*(2k-1) = -d[(2x)^(-(2k-1]/dx при x=1
Ну а новый ряд считается как геом. прогрессия:
ряд Odd=(2x)^(-(2k-1 - это нечетные члены геом прогрессии. Дополняем их четными
Even=1+(2x)^(-2k)=1+1/(2x)*Odd
Суммируем:
Odd+Even=Odd*(1+1/(2x+1=S=сумма геом. прогрессии =1/(1-1/(2x
Выражаем Odd, затем дифференцируем и полагаем x=1

elektronik

Вообще-то, 5/9.

Sergey79

Да, в уме считал и забыл дробь 9/16 перевернуть в процессе...

elektronik

(и вот ещё )
Посчитаем сумму ряда:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac {2 k}{2^{2 k}} = 2 \sum_{k = 1}^{\infty} \frac {k}{4^k}
a := \sum_{k = 1}^{\infty} \frac {1}{4^k} = \frac {1}{3}
\sum_{k = 1}^{\infty} \frac {k}{4^k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac {a}{4^{k - 1}} = \frac {4 a}{3}
Тогда:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac {2 k - 1}{2^{2 k - 1}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac {2 k}{2^{2 k}} - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac {1}{2^{2 k}} = 2 \frac {4 a}{3} - a = \frac {5 a}{3} = \frac {5}{9}

alex17171717

блин....5/9 не получается.......получилось 10/9, а должно быть меньше единицы

Sergey79

Да, именно 10/9 - лишняя двойка возникла при дифференцировании: (2x)', поэтому
2^(-2k)*(2k-1) = - 1/2 d[(2x)^(-(2k-1]/dx при x=1
вот и будет 5/9.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: