Задачка по комбинаторике

Arthur8

На первом этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт вошли двенадцать человек. Предполагая,
что все распределения пассажиров по десяти этажам равновероятны, найти среднее число
остановок лифта
p.s. решения не знаю, в интернете нашел, иногда задевает что решить не могу )

mtk79

Нужно еще учесть, что, как в поезде, могут быть провожающие

marina1206

все распределения пассажиров по десяти этажам равновероятны
:confused:
имеется в виду, что вероятность выйти на любом этаже для любого человека одинакова?

Arthur8

хех

incwizitor

На первом этаже одиннадцатиэтажного дома в лифт вошли двенадцать человек. Предполагая,
что все распределения пассажиров по десяти этажам равновероятны, найти среднее число
остановок лифта
не?
[math]$$10 (1 - ( 1 - \frac{1}{10})^{12})$$[/math]

Arthur8

я ничего не понял что ты написал и как ты это сделал.
я тут попробовал применить C(n,k) однако оно тут, как мне кажется, не работает, почему, потому что n > k, а в данной задаче пассажиры это k, а этажей n(т.е. k > n что не дает работать формуле распределения. Здесь наверное нужен другой подход
Хотя я не знаю, возможно n не обязательно больше k. можно же разложить 10 шаров по 2 ящикам в конце концов

incwizitor

я ничего не понял что ты написал и как ты это сделал.
итак, 10 этажей, 12 пассажиров
1) пассажиры одинаковы и выйти они могут на любом этаже с одинаковой вероятностью
2) рассмотрим первый этаж (номер 2 в нашей высотке): на нем каждый пассажир выйдет с вероятностью 1\10
на нем никто не выйдет с вероятностью [math]$$(1 - \frac{1}{10})^{12}$$[/math]
выводы: вероятность остановки на этом этаже [math]$$1 - (1 - \frac{1}{10})^{12}$$[/math]
3) все этажи равнозначны, значит, среднее число этажей равно [math]$$10 (1 - (1 - \frac{1}{10})^{12})$$[/math]
эту задачу я осилил (под вопросом :grin: ) только благодаря недавней задачке в этом форуме: m шариков разбрасывают по n коробкам. какое среднее число пустых коробок? искать лень

iri3955

События же не независимы. Разве можно так суммировать?

iri3955

Я бы считал так.
Пусть искомая величина E(m,n n - кол-во этажей, m - людей.
Ровно p человек выйдут на первом этаже с вероятностью [math]$$L(p,m,n) = C_m^p\left(\frac 1n\right)^p\left(\frac{n-1}n\right)^{m-p}$$[/math]
Тогда формула
[math]$$E(m,n) = L(0,m,n)E(m,n-1) + \sum_{i=1}^n L(i,m,n1 + E(m-i,n-1$$[/math]
Во что она сворачивается, сходу, хз.

mtk79

они несовместны. рассматривается не исходная сл. величина — число остановок (принимающая значения 1 ..10) — а другая случайная величина (что-то типа разложение по индикаторам) , принимающая значения 0 и 1. Поэтому ее среднее — это просто сумма
ПС. Хотя, конечно, для третьего этажа и выше, нужно нужно учитывать эффективное число находящихся в лифте — но есть подозрение, что по симметрии их как раз и будет "нужное" количество, чтобы формула, данная , совпадала с правильным ответом

incwizitor

События же не независимы.
о каких событиях речь?
я посчитал вклад каждого этажа и просуммировал по этажам
если p вероятность остановки на одном этаже, то среднее число остановок 10 * p
[math]$$E \sum_{k=1}^{10} I_k = \sum E(I_k) = \sum p_k = 10 * p$$[/math]
I_k - индикатор события, что лифт остановился на этаже k

iri3955

Чувствую, где-то подвох, но не могу понять, где

incwizitor

искать лень
однако пришлось напрячься и поискать:

kaygorod

Популярная стала тема.
Тоже мучаюсь над кажется похожей задачей.
m шариков по n корзинам. Шарики одинаковые, корзины разные. В каждую можно положить от 0 до m шариков соотв.
Как посчитать количество распределений?

incwizitor

m шариков по n корзинам
чукча не читатель?

kaygorod

Мда. Я все надеялся, что без суммы каким-нибудь хитрым образом можно обойтись.

Sync755

Тогда среднее число непустых корзин?
Пусть кол-во раскидок m шаров по n корзинам от 0 до m на каждую = A(m, n) // функция 'a :)
Тогда среднее число непустых корзин равно
1*кол-во случаев с одной непустой)/A) + ... + n * кол-во случаев с n непустых)/A)
кол-во раскидок с k непустых корзин = кол-во раскидок с n - k пустых корзин
кол-во раскидок с t пустых корзин = (кол-во размещений t пустых по n позициям) * (кол-во раскидок m шаров по (n-t) позициям от 1 до m на каждую) // функция, подобная функции 'a :)
Так что все сводится к А(m, n)...
А она, например, имеет свойство A(m, n) = сумма для k от 0 до m выражения ( A(m - k, n - 1) )
Ибо варианты есть
(0 шаров в первой + раскидываем m по n-1 корзинам от 0 до m в каждой)
(1 шар в первой + раскидываем m-1 по n-1 корзинам от 0 до m-1 в каждой)
....
Если это всё расписать по порядку, решение может вылупиться.

raycon

Матожидание линейно. Пофиг на зависимость.

seregaohota

Популярная стала тема.
Тоже мучаюсь над кажется похожей задачей.
m шариков по n корзинам. Шарики одинаковые, корзины разные. В каждую можно положить от 0 до m шариков соотв.
Как посчитать количество распределений?
Ширяев Теория вероятностей
в первом же параграфе школьными методами разбирается выбор/размещение с запретом/без запрета с повторением и без
все статистики физики типа Ферми-Дирака и ещё одна без названия в физике, так как не встречается
в более сложных случаях используется теорема Редфилда-Пойа о перечислении и в английской Википедии чуть другие примеры и т.п.

kaygorod

Спасибки. Я ж биофак закончил, поэтому не в курсе классической литературы по предмету.
Честно признаюсь, искать лень.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: