поиск условного экстремума

SHYRIK

Подскажите, пожалуйста, где я ошибаюсь (уже плохо помню тонкости этой теории, помню только алгоритм,а книжки под рукой нет).
Дана функция z=x^2+y^2, условие h(x,y)=3x+2y-6=0. Исследовать на условный экстремум.
Выражая из условия y=(3x-6)/2 и подставляя это в функцию, получим параболу z=(13/4)x^2-9x+9, которая имеет в точке x=18/13 минимум. Значит, точка x=18/13, y=12/13 должна быть точкой условного минимума.
Стало быть, второй дифференциал функции Лагранжа L=x^2+y^2+\lambda(3x+2y-6) должен быть знакопостоянен (положителен). Он имеет вид 2dx^2+2dy^2+4dyd\lambda+6d\lambda, а эта квадр. форма знакопеременна. Вроде в арифметике нет ошибок
Где я не то делаю?

ARTi

y=(3x-6)/2

может, это от того, что из условия ты знак минус потерял?
y=-(3x-6)/2

Sanych

Во-первых, надо бы подставить lambda, чтобы обнулить первый дифференциал, прежде чем считать второй. Во- вторых, неотрицателен он "должен быть" только на касательном подпространстве (на прямой dh=0). Это опять же если я не забыл чего-то.

SHYRIK

Стационарная точка функции Лагранжа x=18/13, y=12/13, \lambda=-12/13, в ней первый дифференциал зануляется. Второй дифференциал я выписал уже в этой точке, он должен быть знакопостоянен. Но если главные миноры матрицы этой квадр. формы посчитать, то получим знаки +,+,-
Т.е. эта точка экстремумом не является. Но вроде должна являться, там же в вертикальных сечениях поверхности параболы получаются.

SHYRIK

Минус потерял, действительно, но от этого ответ не меняется, там же z=x^2+y^2

Sanych

Эта точка не является экстремумом для функции 3 переменных L(x,y,\lambda). Действительно, не является. Но разве это имеет отношение к исходной задаче?

SHYRIK

Вот у меня в памяти осталось утверждение, что точка явл. условным экстремумом тогда и только тогда, когда она является точкой экстремума соответствующей функции Лагранжа. Т.е. это неверное утверждение, получается

SHYRIK

Все, я разобрался. Конечно, второй дифференциал функции Лагранжа нужно исследовать при дополнительном условии 3dx+2dy=0, а на этой прямой он будет положителен.
Остается только вопрос - как это все объяснить студенту гуманитарного вуза.
У них приводится алгоритм в методичке -
1) составить функцию лагранжа
2) найти ее стац. точки
3) исследовать характер найденных стац онарных точек.
Поэтому народ определяет характер этих точек по отношению к ф-ии Лагранжа 3-х переменных, и поэтому нифига не получается.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: