Задача по теории чисел

natalya1979

сумма по (n≤x): 1/фи(n)=0(lnx)

assasin

искомая сумма < произведения по простым p<=x от (1+1/фи(p)+1/фи(p^2)+1/фи(p^3)+... которое в силу мультипликативности фи-функции равно сумме от 1/фи(n) по всем n, у которых все простые делители <=x. логарифм произведения = сумме по p<=x от ( 1/p +
+O(1/p^2) ). суммa от 1/p - это ln(ln x)+O(1). Если нужны подробности, напиши.

natalya1979

спасибо.
А вот от повторного нельзя избавиться
Да и если можно то попадробней.

natalya1979

возможно ли получить чтобы эта сумма равна просто о(lnx)

assasin

снизу ряд оценивается суммой по n<=x от 1/n, которая есть lnx+const, так что от логарифма никуда не деться. Что конкретно тебе подробнее?:
1.Почему ряд оценивается произведением
2.Почему логарифм произведения равен такой сумме?
3.Почему сумма от 1/p равна lnlnx+...?
4.Почему отсюда все следует?
На самом деле сумма эквивалентна const*lnx, но это доказать "немного" труднее.

natalya1979

На самом деле сумма эквивалентна const*lnx, но это доказать "немного" труднее
вот это мне и надо, мне надо просто чтобы получился lnx

assasin

это делается с помощью рядов Дирихле подобно тому, как доказывается ас. закон распред. простых чисел.

natalya1979

спасибо, сейчас попробую решить

assasin

на самом деле я могу быть неправ в том что это const*lnx.

natalya1979

обьясни плиз еще этот момент
3.Почему сумма от 1/p равна lnlnx+...?

natalya1979

млин. что то вообще не получается o(lnx)

lenmas

Там не o(ln x а O(ln x). Там в тексте самого дурака написано: логарифм произведения по простым есть ln ln x, поэтому само произведение, естественно, ln x. То, что сумма по простым есть ln ln x, это простое следствие АЗРП, примени просто преобразование Абеля и замени сумму на интеграл.

IrinaVl78

из того азрп, который был на лекции, незя получить lnlnx+O(1). есть элементарное докво например в виноградове и.м."основы тч"

lenmas

Согласен! Можно получить только ln ln x+o(ln ln x). Для O(1) надо хитрить...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: