Измеримость предела последовательности случайных величин

NHGKU2

Пусть ξ_n: Ω → X, (X,ρ) - метрическое пространство, причём ξ_n измеримы относительно бореллевской сигма-алгебры B(X) (т.е. ξ_n - случайные величины на (Х, В(Х. Пусть ξ_n → ξ поточечно при n → ∞, ξ: Ω → X. Требуется доказать, что тогда ξ также В(Х)-измерима.
Я так понимаю, что здесь нужно использовать цилиндрические сигма-алгебры и т.п., но как именно - что-то не пойму. Может подскажет кто?

valds75

Подсказать можно. Правда подробно писать лень. Идея такая: достаточно проверить, что
$$
\xi^{-1}(B) \in \mathcal{B}
$$
для всех открытых $B$, поскольку они порождают борелевскую $\sigma$-алгебру (это верно в силу теоремы о монотонных классах, см. например Булинский Ширяев "Теория сл. пр."). Но если $B$-открыто и (предположим пока) сходимость не п.н., а для всех $\omega \in \Omega$ , несложно показать, что
$$
\xi^{-1}(B) = \cap_{n = 1}^{\infty} \cup_{k = n}^{\infty} \{\xi_n^{-1}(B) \}.
$$
Если сходимость имеет место п.н., то последнее равенство выполнено с точностью до множества меры 0, которое измеримо, если $\sigma$ алгебра полна (а так обычно по условию полагается).

NHGKU2

Большое спасибо!
У меня вроде всё получилось, как ты посоветовал, но возникла одна проблема:
При доказательстве того, что \xi^{-1}(B) = \cup_{n = 1}^{\infty} \cap_{k = n}^{\infty} \{\xi_n^{-1}(B) \} (кстати, у тебя вроде в этом месте опечатка: cap и cup нужно поменять местами) включение \xi^{-1}(B) \subset \cup_{n = 1}^{\infty} \cap_{k = n}^{\infty} \{\xi_n^{-1}(B) \} доказать несложно, а вот второе не получается. Более того, оно по сути утверждает, что если начиная с некоторого номера сходящаяся последовательность в метрическом пространстве содержится в некотором открытом множестве B, то и предел её тоже лежит в этом множестве. А это неверно.
Как быть?

valds75

Да блин, ошибся. Надо сделать небольшие изменения. Предел сходящейся последовательности лежит в замкнутом множестве т. и т.т., для любого $\varepsilon > 0$ начиная с некоторого момента все члены последовательности лежат в его $\varepsilon$ - окрестности. Положим $F = X \\ B$.
$$
\xi^{-1}(F) = \cap_{m = 1}^{\infty} \cup_{n = 1}^{\infty} \cap_{k = n}^{\infty} \{\xi_n^{-1}(F^{\varepsilon \}
$$
Вроде бы $\cap$ и $\cup$ на своих местах.
Кстати, причем здесь цилиндрические сигма-алгебры?

NHGKU2

Теперь всё отлично получилось, спасибо!
Видимо, после этого нужно ещё воспользоваться тем, что \xi^{-1}(F) = \xi^{-1}(X\\B) = \Omega \\ \xi^{-1}(B) \in \mathcal{F}, откуда \xi^{-1}(B) \in \mathcal{F}, что и требуется.
А по поводу цилиндрических сигма-алгебр: просто считается, что препод обязательно даёт задачу на эту тему, а остальные задачи в эту тему никак не подходили, вот я и подумал, что... Ну в общем, теперь это уже неважно, благодаря тебе у меня есть простое и красивое решение Спасибо тебе!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: